역학실험 6- 진폭이 큰 진자의 주기 - 2

 

1.       실험 목적 & 소개
단순 조화 진동으로 근사할 수 없는, 큰 폭으로 진동하는 진자에서의 운동을 분석하는 것이 목적이다. 이번 주제는 두 번에 걸쳐서 진행하는데, 우선 주기와 진폭 사이의 관계에 대해서 분석하였다.
이를 위해서 실험 1에서는 다음의 다섯 가지를 분석하였다.

· θ가 충분히 작을 때

· t/t0그래프 그리고 확인하기

· θ가 0°~90°까지 10°간격으로 변할 때, t0에 대해서 얼마나 벗어나는지 이론적으로 예측하기

· 위의 오차가 1%가 되는 순간은 언제인가?

· 각도θ가 180°인 경우는 Unstable 하게 평형상태를 이루는 것이다. 이 때 주기는 무한대가 나온다. 그렇다면 θ가 0도인 것도 주기가 무한대라고 말할 수 있는가?

 

2. 기본 이론

진폭이 작은 물리 진자의 주기

강체가 질량 중심이 아닌 다른 고정점에서 진동하는 경우, 그 운동은 단진자에 가깝다.  실험 4에서 보았듯, T=2π sqrt(I/MgL_eff))로 나오며, 근사하면 T=2π sqrt(L/g)이다. 이는 상술하였듯이 진폭이 매우 작은 경우에나 성립하는 것이다.
진폭이 매우 작은 경우, θ≈sinθ 로 근사 가능하기 때문에 미분방정식이 linear하다고 가정한 결과인 것이다.

진폭이 매우 큰 경우
그러나 진폭이 매우 큰 경우부터는  θ≈sinθ 라고 근사할 수가 없다. 따라서 미분방정식 역시 nonlinear한 꼴을 그대로 사용하여서 풀어야 한다.

 

이 미분 방정식의 풀이를 위하여 타원 적분을 사용하여야 하며, 이렇게 해서 구한 진자의 주기는 다음과 같다.

타원 적분의 개념을 이용한 주기 구하기

양변에 dθ/dt를 곱해서 정리하면 미방의 해를 비교적 쉽게 얻을 수 있다. 

이를 시간에 대해 적분하면

이제 초기 조건을 마지막 식에 대입하면 진자의 위치별 각속도를 정확하게 얻는다.
진자는 θ=0,-θ_0,0,θ_0 을 순차적으로 거치며 주기 운동을 한다.

따라서

의 꼴이 등장한다. 이 식을 정리하면

이 나오며, 이를 제 1 종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)라고 한다.
이를 사용해서 진자의 주기에 대한 최종식을 얻는다.

보다시피 타원의 둘레 길이와는 무관한 식이지만, 피적분 함수의 역수를 취하면 타원의 둘레 길이를 표현하는 제2종 타원 적분이 나오기 때문에 타원 적분이라고 부른다.

 

<지난번 보고서에서 빼놓은 주기T와 각도 사이의 관계>

ω0=1.1rad/s로 보고 얻은 결과이다.

3. 실험 과정

우선 무게를 측정하였다.

전체의 무게는 179.71g	추 하나의 무게는 75.30g
다른 하나는 76.13g	막대의 무게는 28.29g

76.13g 추는 가운데에서 17.3cm 떨어진 거리에, 75.30g추는 16cm떨어진 거리에 배치하였다.
이때 막대까지 포함하여 계산한 총 관성모멘트는 I=0.00454604248kg*m^2이다.
무게중심까지의 거리 L_cm=(0.007613*0.173-0.00753*0.16)/0.17971=0.000625m=0.6cm이다.
그렇게 해서 물리진자의 주기 T의 이론값을 예상하여 보았다.

실제 실험 결과는 다음과 같았다.

 

 

	공백
공백	공백

위와 같이 각각의 초기 각도에 대해서 실험을 하고 이를 Damped sine 모양으로 플로팅하여 각속도를 측정한다.

그렇게 해서 얻은 결과는 다음과 같다.

각도	각속도
10	2.10
20	2.09
30	2.07
40	2.05
50	2.02
60	1.98
70	1.95
80	1.91
90	1.86

그러나 처음에 얻은 이 데이터는 무게 측정 등을 위해 뺐다가 다시 끼는 과정에서 오류가 생겨 이론값을 잴 때 쓸 수 없었다.

이론값과 실제 값이 차이가 많이 나서 좀더 큰 각도까지의 추이를 직접 보고 실험 자체에 오류가 있었는지 살펴보기로 하였다. 아까와는 달리 20도 간격으로 120도까지 측정하였다.
그렇게 해서 얻은 값은 다음과 같다.

초기각도	각속도
10	1.63
30	1.61
50	1.57
70	1.5
90	1.42
100	1.39
110	1.32
120	1.25

이를 통해서 주기를 얻었다.

 

초기각도	주기(실험)
10	3.854715
30	3.9026
50	4.002029
70	4.18879
90	4.424778
100	4.520277
110	4.759989
120	5.026548

 

이 주기를 그래프로 그려 보면

그런데 우리가 계산한 이론값은 이와는 달랐다. 오차까지 분석해 보았다.

초기각도	주기(실험)	주기(이론)	오차(%)
10	3.854715	5.703298	32.4125269
30	3.9026	5.9157	34.0297851
50	4.002029	6.31008	36.5772066
70	4.18879	6.642486	36.939423
90	4.424778	6.74209	34.370823
100	4.520277	7.038477	35.7776237
110	4.759989	7.398945	35.6666564
120	5.026548	7.841818	35.9007327

이처럼 매우 큰 오차가 발생한 원인에 대해서 우리는 생각해 보아야 했다.

참고로 지난 실험1에서 계산한 주기들은 다음과 같았다.

초기각도	주기
10	5.72288048
20	5.75579201
30	5.81142546
40	5.89100327
50	5.99634625
60	6.13000129
70	6.295437
80	6.49734231
90	6.74208973

이는 우리가 오늘 계산한 이론치들과 큰 오차가 나지 않는다.

우리의 실험값은 다음과 같았다.

이 문제를 해결하기 위해서 예전에 그렸던 계산들을 범위를 늘려서 다시 해 보았다.

이 결과는 원래 계산했던 90도까지의 결과와도 잘 맞아떨어지는 결과를 내놓았다. 주기 T는 10도에서 약 5.7228초 정도를 보인 것이다.

 

오늘 계산한 오차의 크기가 계속 일정한 것으로 보아서, 실제 오차의 원인은 이론과 실제의 괴리가 아닌, 측정 장비의 오차로 결론을 내릴 수 있을 것 같다.

4.       참고문헌

연세대학교 교양물리실험실

한양대학교 역학실험실
Classical Dyanmics of particles and system (Thornton)