역학실험 3 - 강제 조화 진동

1)     실험 목적 & 소개
구동 주파수(driving frequency)에 따른 조화 진동자의 진폭 변화와 공명 현상을 연구조화 진동자는 기본적으로 알루미늄 디스크와 양쪽에 매달린 2개의 용수철, 그리고 Driving Force를 제공하는 부분으로 구성(미방의 오른쪽 항)

2)     기본 이론

Driving Force 는 여러 형태로 줄 수 있겠지만, 우리는 가장 간단한 Sinusoidal 한 형태의 Driving Force 를 가할 것이다.
그러면 F=-kx-bx+F0 cosωt

 

1)     실험 목적 & 소개
구동 주파수(driving frequency)에 따른 조화 진동자의 진폭 변화와 공명 현상을 연구조화 진동자는 기본적으로 알루미늄 디스크와 양쪽에 매달린 2개의 용수철, 그리고 Driving Force를 제공하는 부분으로 구성(미방의 오른쪽 항)

2)     기본 이론

Driving Force 는 여러 형태로 줄 수 있겠지만, 우리는 가장 간단한 Sinusoidal 한 형태의 Driving Force 를 가할 것이다.
그러면 F=-kx-bx+F0cosωt

이다. F=mx임을 이용하면 식을 변형하여서 다음과 같은 2nd Nonhomogeneous ODE로 바꿀 수 있다.
mx+bx+kx=F0cosωt

한편, A=F0m, β=b2m, ω0=km의 관계가 성립함을 배웠으므로
x+2βx+ω02x=Acosωt

임을 알 수 있다. 이 같은 Nonlinear ODE는 Complementary Solution 과 Particular Solution으로 나누어서 풀고, 둘의 선형결합이 해가 된다.
(한편, 고전역학 과목에서 배웠던 식은 용수철 진자에 대한 것이었고, 우리가 다루는 식은 비틀림 진자에 가까우나, 비틀림 진자에서는 힘 대신에 토크, 변위 대신에 각변위, 질량 대신에 관성 모멘트가 사용된다는 점을 활용한다면 다루게 되는 방정식의 형태는 똑같이 나오게 된다. 원판의 관성 모멘트는 I=1/2MR^2)

 

2.a   Complementary Solution
x_c(t)=exp(-βt) [A1 exp(sqrt(β2-ω0^2t))+A2 exp(-sqrt(β2-ω0^2t))]

2.b  Particular Solution
x_p(t)=Dcos(ωt-δ)

 

cosωt와 sinωt 는 Linear Independent 하기 때문에 xp(t)를 넣은 결과에서 tanδ는 일정한 조건을 만족시켜서 각각의 항들이 사라질 수 있도록 계수를 조정해야 한다.
tanδ=2ωβ/(ω0^2-ω^2)이므로 sinδ, cosδ

 역시 만들어낼 수 있다.
 

이를 통해 xp(t)의 진폭 D는
D=A/{sqrt(ω0^2-ω^2)+4ω^2β^2}

임을 알 수 있다.

δ=tan-1(2ωβ/(ω0^2-ω^2)

이다. 이는 구동 토크와 운동 사이의 위상차를 나타내는 척도이다.
구동 진동수가 0이 되면 계의 운동은 구동 토크와 같은 위상이 된다.
ω=ωR

(Amplitude Resonace Frequency)를 찾기 위해서는 D의 도함수를 구하면 된다.
dDdω=0

을 만족시키는 ω=ωR

은 D의 그래프 개형상 FIGURE 3-16 (a)과 같은 모양을 만든다.
ω_R^2=ω0^2-2β^2

임을 dDdω=0을 통해서 안다.
Quality Factor Q를 도입하면

Q=ωR/2β이다.

3)      실험 내용
1) Damp를 작게 한 경우

frequency = 0.005 Hz

Amplitude = 2.00V
Waveform = Positive Ramp

Voltage offset = 5.00V

Voltage Limit = 7.00V

ω = 7.80

B = 0.212(감쇠상수)
ω_0 = 3.901rad/s(이론값)
ω_0=3.894rad/s(실험값)

 

2) Damp를 크게 한 경우           

frequency = 0.005 Hz

Amplitude = 2.00V
Waveform = Positive Ramp

Voltage offset = 4.00V

Voltage Limit = 6.00V

ω = 7.75

B = 0.495(감쇠상수)
ω_0 = 3.8829rad/s(이론값)
ω_0 = 3.8308rad/s(실험값)

 

 

4. 진동수에 따른 위상차와 그 해석      

 DC로 준 경우, ω->inf이므로 위상차 델타가 pi로 나타난다.

            

 

5. 오차 및 실험 분석
Positive Ramp로  ω(t)를 주었을 때 Resonance Frequency를 구하는 과정에서 공명 곡선 그래프의 우측 부분이 감소하지 않고 증가하는 그래프가 나타남을 관측, Negative Ramp로 주면 이런 현상은 사라짐

또한, 전압을 충분히 주지 않을 경우 모터가 돌지 않을 수 있음

공명 곡선이 비대칭인 이유 : D=A/sqrt(ω0^2-ω^2)^2+4ω^2β^2항의 분모 모양이 ω= ω_0축에 대해서 대칭적이지 않기 때문이다.
처음에 Ramp의 모양을 Driving Force의 파형으로 착각함. 사실은 ω(t)의 모양이었음.
ω(t)이 Positive Ramp 개형일 때 ln(1+e^x)와 같은 함수로 근사한다는 사실도 흥미로웠음

6. 참고문헌
https://physics.stackexchange.com/questions/228279/a-conceptual-doubt-regarding-forced-oscillations-and-resonance(사진 자료)
http://physics.hanyang.ac.kr/students/Board_view.asp?mode=mod&idx=1069&BoardID=9&page=1&xsearch=1&xquery=(역학참고자료)
Stephen T.(Stephen T. Thornton) Thornton, Jerry B. Marion - Classical Dynamics of Particles and Systems-Brooks Cole (2003) (Driving Force)