순서
• 각운동량, 토크, 관성모멘트 등 강체의 회전운동에 대한 이해
• 세차운동과 장동운동에 대한 이해
• 실험장치의 조립
• 질문 대답
• 자료 출처
1. 기본 개념 - 토크와 각운동량
• 토크의 정의: τ=r×F
• 각운동량의 정의 : L=r×p
• 각운동량과 토크사이의 관계식 : τ=dL/dt
• τ =0일 때 각운동량은 상수
• →각 운동량 보존 법칙(Angular Momentum Conservation)
2. 기본 개념 – 관성 모멘트
• 관성모멘트 – 회전 상태를 유지하려는 정도
• 자이로스코프 바퀴의 관성모멘트 측정
• 뉴턴의 2법칙 : F=ma=mg-T
• 장력 T =mg-ma=mg-a
• 바퀴를 회전시키는 토크
• τ=rT=rm(g-a)
• a=rα (α: 각가속도)
• 바퀴의 관성모멘트 I : I=τα=rm(g-a)a/r=mr2ga-1
3. 팽이의 질량중심에 작용하는 중력이 만드는 토크
• 토크의 영향으로 수직축을 중심으로 세차운동
• 원뿔모양 궤적을 그린다.
• τ=dLdt=Ω×L0
• 고속으로 회전하는 팽이에 토크가 작용해서 나타나는 토크는 토크 방향으로 발생
• 토크 방향과 토크를 일으키는 힘은 서로 직교
4. 만일 바퀴가 회전하지 않는다면?
• 축의 한 끝이 지지된 자이로스코프
• 관성 바퀴가 회전하지 않는 경우:
• 자유단 쪽이 중력에 의한 토크를 받아 낙하
• 초기 각운동량 0
• 시간 dt경과할 때마다 토크에 의해 각운동량 변화
• 각운동량과 토크 방향이 동일
• 바퀴 아래로 떨어짐
5. 만일 바퀴가 회전한다면?
• 바퀴가 회전하면 초기 각운동량 Li 존재
• 관성바퀴에 작용하는 토크가 회전축에 수직
• 각운동량의 변량dL도 L_i와 수직
• 원운동과 비슷함
6. 세차 각속도
• 시간 dt동안 자이로스코프 회전축이 움직인 각도는 dϕ=|dL||L|
• 자이로스코프의 세차 각속도 Ω=dϕdt =|dL/|L|dt=τzLz=wrIω
• 관성 바퀴의 회전 각속도 ω 와 반비례관계
7. 심화 - 힘과 가속도만으로 토크를 이해하자.
• 바퀴가 원운동을 할 때 입자들은 한 평면 위에서 얌전히 운동하는 것이 아님
• (Fig 19.4)휘어진 경로 따라서 운동 -> 측면으로 힘이 작용하는 중
• 무슨 힘?
• 회전축을 들어올리는 사람의 힘!
• 바퀴의 반대쪽에서 회전하는 입자는 반대 방향으로 힘 작용
• 알짜힘은 0
• 바퀴가 강체이므로 축의 힘이 바퀴까지 전달됨
• 바퀴를 들어올리기만 하면 됨
8. 장동 운동(Nutation)
• 지금까지 관성 바퀴의 회전에 의한 영향만 고려
• 각운동량 L이 평면상에서 움직인다고 가정
• 그러나 실제로는 세차운동에 의한 각운동량의 수직 성분 존재
• 따라서 짧은 주기로 수직으로 진동하는 장동 발생
• 회전하는 팽이의 축을 가볍게 잡아 수직으로 세우면 중력에 의한 토크는 0
• 손을 놓으면 중력에 의한 토크 발생 → 팽이는 기울어진다.
• 기운 채로 옆으로 돌아간다.
• 이 회전이 계속되기 위해서는 어떤 토크가 계속 필요
• 이 토크가 없으면 자이로스코프는 쓰러지기 시작한다. → 수직축 토크 발생
• 실제 운동은 균일한 세차 운동을 위한 속도와 다름
• 회전축은 원래 출발한 높이로 다시 상승
• 사이클로이드 궤적 완성
장동 운동에서 자전축이 내려가는 이유?
• 장동은 마찰 때문에 매우 빠르게 감쇠하는 사이클로이드 궤적을 그림
• 균일한 세차 운동으로 바뀜
• 운동이 안정되면 자전축이 원래 출발 위치보다 내려감 → 왜?
• 자전축이 수평을 향하도록 조절하면 그 위치를 유지하며 돌아갈까?
• 세차운동 식에 의하면 될 것 같은데?
• 바퀴는 세차운동에 대해 약간의 관성모멘트를 가짐
• 축에 대한 각운동량도 존재
• 각운동량은 누가 제공???
• Pivot 은 고정돼 있으니 수직축 토크는 0
• 토크 0인데 각운동량 변화가 있다고??
|
진동 중심 |
• 사이클로이드 궤적을 그리며 장동하는 축은 진동의 가운데 축으로 수렴
• 가운데 지점은 처음 출발 위치보다 아래쪽
• 자전축이 더 기울었으니 각운동량은 약간의 수직성분 가짐
• 이 값은 세차운동이 계속되기 위한 양과 일치
• ∴ 세차운동이 계속되기 위해서는 조금 숙여야 함
• 안정된 운동을 위해 중력에게 조금 양보한 것
• 여기까지가 자이로스코프의 원리
실험 과정
장비들을 모두 조립한 모습
1. 수평맞추기
2. 추가 원판 조립
세차 운동 실험
• 축이 수평 위치에 있도록 클램프로 고정
• 슈퍼풀리를 막대에 매달아 고정
• 자이로스코프 중심축에 있는 도르래에 실을 감는다.
• 슈퍼풀리에 실을 걸어 준다.
마찰 질량(Frictional Mass)
• 외부 요인에 의한 효과를 기존 개념으로 치환하여 설명하기도 함
• Ex) 회전하는 물체에서 관성모멘트에 의한 효과를 질량이 추가됐다고 설명
• 마찰 질량도 마찬가지
• 추가 등속으로 낙하할 떄 추의 무게와 운동 마찰력의 크기가 같다는 점 이용
• 마찰력에 의한 효과를 질량이 감소한 것으로 해석
• 추의 질량에서 ‘마찰 질량’을 뺀 것을 관성모멘트 계산에 사용
회전원판도르래 사용하기
원판의 회전관성을 실험관성으로 찾는다. 운동마찰력을 극복하는 데 필요한 질량을 측정
세차운동 각속력(Precession Rate) 측정
• Leveling 과정 다시 하기(큰 평형추 위치 조절)
• 추가질량의 무게를 측정해 표에 기록하고 축의 끝에 부착
• 회전축부터 추가질량의 중심까지의 거리를 측정한다
• 세차운동이 일어나지 않도록 손으로 붙잡고, 초당 2회전 정도의 속력으로 회전
• 손을 놓고 자이로스코프가 세차 운동을 하도록 함, 2바퀴 세차 운동하는데 걸린 시간을 측정
• 즉시 10회전 하는데 걸린시간을 다시 측정
장동 운동(Nutation) 실험
평형추 조정해서 수평 맞추고, 끝에 추가질량을 매단다.가만히 놓는 경우
→ Nutation(A)
세차운동 방향으로 살짝 미는 경우
→ Nutation(b)
세차운동 반대 방향으로 살짝 미는 경우
→ Nutation(c)
이후에는 원판의 회전속력이나 초기 기울임 각도를 변화시켜 본다.
질문
- 원판의 회전 방향을 반대로 하면 세차 운동의 방향이 어떻게 변하는가?
- 원판의 각속력을 증가시키면 세차운동은 어떻게 변하는가?
예시 답안
- 회전 방향을 반대로 하면 세차운동 방향도 원래와 반대가 될 것
- 자이로스코프의 세차 각속도 Ω=dϕdt =|dL/|L|dt=τzLz=wrIω 이므로 원판의 각속력이 증가하면 세차운동 각속력은 감소할 것
References
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/amom.html (파인만의 물리학 강의)
Fundamentals of Physics Extended | 10th Edition (Jearl Walker, David Halliday, David Halliday, Robert Resnick)
한양대학교 물리학 실험실
연세대학교 일반물리학 실험실 사이트
사진자료 : Wikipedia
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