2.Newton Mechanic

이번 단원은 뉴턴 역학을 다시 확인 하는 단원으로 간단한 개념 정리와 시각화를 중심으로 준비했습니다.

 

우선 뉴턴의 운동법칙과 운동량, 일의 정의에 대해서 보면 아래와 같습니다.

역학적 에너지 보존도 한 번 살펴보았습니다.

변위에 따른 속도 그래프(Phase)를 퍼텐셜이 kx^2/2 일때를  그려보았습니다. 

입자의 총 선형운동량은 힘이 0 일 때 보존되는 것을 간단하게 확인할 수 있습니다.

또한 각운동량에서도 비슷하게 확인할 수 있습니다.

역학적 에너지는 보존장에서 시간에 대해서 무관함을 보일 수 있습니다.

퍼텐셜 함수는 이차함수로 근사하여 분석할 수 있습니다. 이때 퍼텐션의 일차미분이 0이 되는 지점이 평형점입니다.

Second derivative test를 통해 안정적 평형인지 불안정 평형인지 확인 할 수 있습니다. 이는 미적분학에서 배운 최적화와 같은 부분입니다.

다변수함수로 확장해도 비슷합니다. 대신 새로운 것은 다변수함수에서의 미분연산자와 헤세행렬(Hessian Matrix)를 이용한다는 점입니다. 한 점에서 헤세행렬의 고윳값을 분석하여 그 점에서의 위로 볼록인지 아래로 볼록인지, 아니면 안장점인지 파악할 수 있습니다.

이에 대한 자세한 증명은 프리드버그의 선형대수학, 쌍선형과 이차형식 부분을 참고하시면 됩니다.

또 다른 방법으로 사용되는 것은 행렬식을 이용해서 비교할 수 있습니다.

우선 대표적인 빗면에서의 운동방정식을 살펴보겠습니다. 마찰력이 없는 경우 입니다.

미분방정식을 간단하게 풀 수 있습니다.

포사체 운동에서 공기저항이 속도에 선형적으로 비례하는 경우를 보겠습니다. 

위 미분방정식을 풀고 변수를 바꿔가며 그린 사진입니다.

1번은 저항계수를 바꾼 그림이고, 2번은 초기속력을 바꾼 것 입니다.

위 미분방정식에서 최종적으로 위치에 대한 함수를 구하면 아래와 같습니다. 그림을 보시면 시간이 지날수록 변위가 v_0/k에 수렴하는 것을 알 수 있습니다.

(아래 사진에서 m은 오타 입니다)

속도를 x에 대해 나타내면 선형적으로 감소하는것을 확인 할 수 있습니다.

이번에는 물체를 수직 방향으로 던져보겠습니다. 이 경우에도 미분방정식을 풀 수 있습니다.

속도를 구하고 나면 알 수 있는 사실은 속도가 시간이 많이 지나면 -g/k 에 수렴하는 것을 알 수 있습니다. 이때는 공기저항과 중력의 합력이 0이되어 등속도 운동을 합니다.

위에는 저항계수 k에 따른 시간-변위 그래프 입니다.

아래는 저항계수 k에 따른 시간-속도 그래프 입니다.

이때 k가 클수록 선형영역에 빠르게 도달하는 것을 알 수 있고, 종단속력에 빨리 도달하는 것을 관측할 수 있습니다.

위 두 경우를 혼합한 포물선 운동입니다. 우선 가장 단순한 공기저항이 없는 경우 입니다.

저항력이 있을 때 포물선운동은 위 두 운동을 혼합하여 미분방정식을 풀 수 있습니다.

아래 그림은 저항계수에 따른 x-y 그래프 입니다.

k가 커질수록 도달 거리와 최대 높이가 감소하는 것을 확인 할 수 있습니다.

지면에 도달하는 시간을 구하기 위해서 방정식을 세우고, 이를 k에 대해 근사하면 아래와 같이 구할 수 있습니다.

사실 T를 구하기 위한 방정식은 초월 방정식으로, 대수적으로 구하긴 어렵지만, 컴퓨터를 이용해 구하면 아래와 같이 나옵니다. W(z)는 람베르트 W 함수로, y =x*exp(x) 의 역함수 입니다. 

최대 도달거리를  알아내기 위해 변위를 2차 항까지 근사하여 T를 대입하면 근사식을 구할 수 있습니다.

2주차 스터디를 마치겠습니다.

 

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Reference: Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. 2004. Classical Dynamics Of Particles And System. 5th ed. :Cengage Learning