이 논문 전체를 리뷰하고 싶지만, 그건 아쉽게도 내 상황이 여의치 않아서 곤란하다.
졸업논문발표를 한다면 "Quantum Spin Liquid도 있는데 뭐 하러 Classical Spin Liquid를 연구하고 있냐?"는 질문이 반드시 나올 것 같아서 졸업 논문에 관련된 내용을 정리하고 있었다.
내용을 요약하자면 이렇다.
"흥미롭게도, 최근에는 스핀-S Kitaev 모델처럼 특정 결합 구조와 강한 기하적 frustration이 결합될 경우, S ≫ 1의 준-고전적 한계에서도 Z₂ 위상학적 QSL이 유지될 수 있음이 제안되었다. (댓글의 논문 링크 참조)
다만 터널링 진폭이 $e^{-αS}$로 급격히 약화되므로, 터널링 경로 및 그 활성화 조건이 모두 충족될 때에만 거시적 양자 중첩이 형성된다. 또한 작은 양자 교란이 고전적 축퇴를 어떻게 해소하는지는 계마다 달라, 경우에 따라 Order-by-Disorder로 특정 배치가 선택될 수도, 혹은 잔류 무질서가 유지될 수도 있다.
고전적으로 무수히 많은 축퇴 상태가 존재하고, 그 사이를 연결하는 터널링 경로가 존재할 경우에 한해, 양자 효과가 비록 작아도 집단적으로 거시적 양자 중첩을 형성할 수 있음을 시사하는 것이다."
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-->여기까지 1줄요약 : 꼭 "S가 작아야만 QSL이냐?" "아닐수도 있어요."
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라는 내용을 졸논에 지금 추가하려고 하는 중이었다.
다만, 처음에 좀 이해가 안 갔었다.
1. Tunneling이라는 건 양자역학에서 유한 퍼텐셜 장벽을 입자의 파동함수가 통과하는 현상을 말하는 건데 갑자기 'state들 사이를 연결하는 '경로''라니???
2. 좀더 알아보니 Xiao-Gang Wen선생님의 Quantum field theory of many body systems라는 책에 Instanton이라는 개념이 나온다.
처음 들어보길래 뭔지 읽어보니까 Path integral formulation을 응용하면서 나온 개념이다.
2-1. 내가 Path integral formulation에 익숙하지 않아서 잘 몰랐나 하고 사쿠라이/콜만/볼프강 놀팅을 찾아보니 안 나와서 안심(?)했다.
3. 아무튼 책에는 이렇게 나온다.
"Tunneling through a barrier:
-Sometimes, the initial and final configurations are connected by several stationary paths. The path with the least action represents the default path, and the other paths represent the instanton effect.
-Tunneling through barriers is an instanton effect."
읽어보니 결국은 Path integral formulation에 익숙치 않았던 것 자체는 맞았다.
3-1. 나는 “파동함수의 확률적 침투”라는 표준 양자역학적 터널링 개념과, “고전적으로는 가지 못하는 경로를 따르는 경로적분 상에서의 터널링 (instanton picture)”을 연결하는 부분이 부족했던 것이다.
3-2. Feynman의 경로적분(path integral) 포멀리즘에서는 입자가 두 상태 사이를 어떻게 이동할지를 확률 진폭으로 계산한다.
입자가 $ 𝑥_𝑖→𝑥_𝑓 $로 가능한 모든 경로들을 고려하는데, 각 경로에는 고유한 '위상(Phase)'이 붙고, 이 Phase들을 모두 더해서 최종 확률 진폭을 구하는 것이다.
입자가 시간 \( t_i \)에 위치 \( x_i \)에서 시작해서, 시간 \( t_f \)에 위치 \( x_f \)에 도달할 확률 진폭은 다음과 같다:
\[
\langle x_f, t_f \mid x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] \, e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]}
\]
여기서,
- \( \mathcal{D}[x(t)] \): \( x_i \to x_f \)로 가는 모든 경로에 대한 적분
- \( S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} L(x, \dot{x}, t) \, dt \): 경로 \( x(t) \)에 대한 작용
- \( L \): 라그랑지안
> 각 경로는 위상 \( e^{iS/\hbar} \)를 가지며, 이들을 모두 복소수 진폭으로 합산한다.
\[
\langle x_f, t_f \mid x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] \, e^{\frac{i}{\hbar} S[x(t)]}
\]
여기서,
- \( \mathcal{D}[x(t)] \): \( x_i \to x_f \)로 가는 모든 경로에 대한 적분
- \( S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} L(x, \dot{x}, t) \, dt \): 경로 \( x(t) \)에 대한 작용
- \( L \): 라그랑지안
> 각 경로는 위상 \( e^{iS/\hbar} \)를 가지며, 이들을 모두 복소수 진폭으로 합산한다.
고전적으로는 오직 작용을 최소화하는 경로 하나만 존재하지만, 양자역학에서는 모든 경로에 대한 진폭의 합이 실제 확률 진폭을 만들게 된다.
그리고 이 중 작용이 작은 경로들이 더 큰 기여를 하게 되는 것이다.
그런데 왜 작용이 작은 경로가 중요할까?
3-2-1 Stationary phase approximation
작용 S가 조금만 달라도, 위상은 확확 변해서 상쇄 간섭이 일어나게 되는데, 그런데 작용 S가 정지(stationary)한 경로, 즉 𝛿𝑆=0인 경로 주변은 위상이 크게 변하지 않아 간섭 없이 큰 기여를 주게 된다.
그래서 경로적분에서 실질적으로 가장 크게 기여하는 경로는 δx(t)/δS=0을 만족하는 '고전적인 경로' 이며, 그 주변의 경로들이 작은 징동으로 더해지면서 양자적인 효과가 수정을 해 주는 것이다.
### 아이디어:
- \( e^{iS/\hbar} \)는 \( S \)가 바뀌면 위상이 급격히 변화
- \( S \)가 조금만 달라져도 위상이 크게 차이나며 상쇄 간섭 발생
- 하지만 \( \delta S = 0 \)인 경로에서는 위상이 크게 변하지 않음 → 이 경로들이 주된 기여
따라서 경로적분에서 실제로 가장 크게 기여하는 경로는 다음 조건을 만족한다:
\[
\frac{\delta S}{\delta x(t)} = 0
\]
이는 바로 앞에서 말한 고전적인 경로이다. 그리고 그 주변의 작은 요동들이 양자적인 수정 역할을 한다.
- \( e^{iS/\hbar} \)는 \( S \)가 바뀌면 위상이 급격히 변화
- \( S \)가 조금만 달라져도 위상이 크게 차이나며 상쇄 간섭 발생
- 하지만 \( \delta S = 0 \)인 경로에서는 위상이 크게 변하지 않음 → 이 경로들이 주된 기여
따라서 경로적분에서 실제로 가장 크게 기여하는 경로는 다음 조건을 만족한다:
\[
\frac{\delta S}{\delta x(t)} = 0
\]
이는 바로 앞에서 말한 고전적인 경로이다. 그리고 그 주변의 작은 요동들이 양자적인 수정 역할을 한다.
3-3. Tunneling through barriers is an instanton effect. 라는 말에 대해서도 이를 기반으로 이해할 수 있었다.
아무리 Barrier가 있더라도 양쪽 두 상태를 연결하는 모든 경로를 다 고려할 수 있다.
그중에서도 유클리드 시간에서 장벽을 통과하는 특수 경로, 이게 바로 Instanton이다.
이 instanton 경로의 작용 $𝑆_inst$가 낮기 때문에, 그에 해당하는 위상
$ \exp(−𝑆_inst/ℏ)$ 가 큰 기여를 하며 터널링이 일어나는 것이다.
즉, 파동함수가 스무스하게 장벽을 넘는다는 개념이, 경로적분에서는 특정 경로들이 확률적으로 큰 기여를 하게 되는 구조로 재해석되는 것이다.
예를 들어, 아래와 같은 double-well potential을 생각해보자:
\[
V(x) = \frac{\lambda}{4}(x^2 - a^2)^2
\]
이 포텐셜은 두 개의 안정 상태 \( x = -a \), \( x = +a \)를 갖는다.
고전적으로는 이 둘 사이를 넘나들 수 없다. 중간에 장벽이 있기 때문이다.
하지만 양자역학에서는:
- 이 두 상태를 연결하는 모든 경로를 고려한다.
- 특히 유클리드 시간에서 장벽을 통과하는 특수한 경로가 존재하는데, 이것이 Instanton이다.
- Instanton 경로의 작용을 \( S_{\text{inst}} \)라고 할 때, 이 경로의 기여는
\[
e^{-S_{\text{inst}}/\hbar}
\]
형태로 나오며, 터널링 확률에 지대한 영향을 준다.
결론적으로, 우리가 알고 있는 터널링을 경로적분 관점에서는 instantons라는 특수 경로의 기여로 해석할 수 있다.
4. 이걸 Instanton이라고 부르는 이유는 이름처럼 '찰나'에 나타났다가 사라진다는 성질 때문이다. Soliton은 공간에 퍼져 있는 안정된 해라서 solid하다 해서 soliton, instanton은 Euclidean time에 국소화된 해라서 ‘찰나(instant)’에 나타났다 사라지니까 instanton.
이런게 준고전적 근사(semiclassical approximation)에서 특히 유용하다는데, 지금까지 몰랐다는게 좀 반성할 만 한 포인트였다.
.
5. 마지막으로 "The decay of a meta-stable state is also an instanton effect."라는 말도 있었는데, 이건 다음에 써봐야겠다.
다음 주 연구실 내 Journal Club때 Instanton에 대해 소개하는 발표를 해 봐야겠다.
--> 3줄요약 : 파동함수가 스무스하게 장벽을 넘는다는 개념이, 경로적분에서는 특정 경로들이 확률적으로 큰 기여를 하게 되는 구조로 재해석되고, 유클리드 시간에서 장벽을 통과하는 특수 경로가 바로 Instanton이다.
https://www.nature.com/articles/s41467-018-03934-1
출처 : Xiao Gang Wen 저 ' Quantum field theory of many body systems'
