저널 클럽 준비 : Chern numbers in Discritized Brillouin Zon : Efficient Method of Computing (Spin) Hall Conductances

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\section{서론}

최근 응집물질물리에서 위상적 상전이(\textit{topological phase transition})에 대한 관심이 높아지고 있습니다.
낮은 차원의 계에서는 위상 양자수가 다양한 상전이를 특징짓는 핵심 역할을 합니다.
대표적인 예로 정수 양자 홀 효과(\textit{Integer Quantum Hall effect})를 들 수 있는데, 이 경우 양자화된 홀 전도도는 밴드의 Berry 접속(\textit{Berry connection})에 연관된 Chern number(\textit{Chern number})로 주어집니다.
Chern number는 두 개의 주기적 매개변수(예: 2차원 브릴루앙 존의 $k_x, k_y$)에 대한 상태의 위상적 성질을 나타내는 정수값 불변량으로, 대칭성이 아닌 위상적 질서(\textit{topological order})를 통해 양자 상을 특성짓는 지표입니다.
특히 홀 전도도 $\sigma_{xy}$는 전자 밴드들의 Chern number 합으로 표현되며, 페르미 에너지 아래에 있는 모든 밴드에 대한 Chern number의 합과 전하 단위로 결정됩니다.(예: $\sigma_{xy} = \frac{e^2}{h}\sum_{\text{filled bands}} C_n$) 

이는 위상 양자수가 전기전도 같은 관측물리량과 직접 연결됨을 의미합니다.
하지만 실제 수치 계산에서는 해밀토니안을 연속적인 $k$-공간 전체에 대해 대각화할 수 없고, 대신 브릴루앙 존(BZ) 내에서 적절히 선택된 이산 $k$-격자점들에서만 파동함수를 얻을 수 있습니다.
이 때 각 $k$점에서 얻는 밴드 고유상태들은 임의의 위상인자(게이지 자유도)를 갖고 있어서, 단순히 이들을 연결해 미분 연산을 하면 Berry 곡률 계산 시 게이지 의존성 문제가 발생합니다.
즉, 임의로 정해지는 파동함수의 위상으로 인해 직접 계산한 Berry 접속은 게이지에 따라 달라질 수 있으므로, 수치적으로 Chern number를 올바로 구하기 위해서는 게이지 고정(\textit{gauge fixing})에 주의해야 합니다.
한편, Chern number 자체는 물리적으로 게이지 불변(\textit{gauge-invariant})인 정수값이므로, 계산 결과가 선택한 게이지에 무관하고 정확한 정수를 산출해야 합니다.
이러한 이유로 브릴루앙 존에서의 위상적 성질을 올바르게 포착하는 효율적이고 견고한 계산 방법이 필요합니다.

본 문서에서는 Fukui, Hatsugai, Suzuki (2005) 의 연구를 기반으로, \textbf{이산화된 브릴루앙 존(discretized Brillouin zone)}에서 Chern number를 효율적으로 계산하는 방법을 정리합니다.
이 방법은 격자 게이지 이론의 기하학적 위상전하 계산법을 응용하여 개발되었으며 ,
파동함수의 위상(게이지)을 특정 방식으로 고정하지 않더라도 명시적으로 게이지 불변이고 항상 정수값을 주는 Chern number 계산식을 제시합니다.

먼저 Chern number의 정의와 Berry 곡률 등 이론적 배경을 소개하고, 이어서 연속적인 브릴루앙 존에서의 정의를 이산 격자로 변환하는 방법을 설명합니다.
그런 다음 이 방법을 실제 모형에 적용한 수치 계산 과정을 살펴보고, 결과를 통해 게이지 독립성과 격자 효과(격자 간격에 따른 위상 보존 조건)를 논의합니다. 마지막으로 이러한 방법의 의의와 잠재적인 확장 가능성에 대해 결론을 맺습니다.

\section{Chern number의 이론적 배경}
Chern number는 2차원 매개변수 공간에서 정의되는 Berry 곡률의 접속 양을 나타내는 위상 불변량입니다.
예를 들어 2차원 결정의 브릴루앙 존은 토러스($T^2$) 위상과 동형이며, 각 밴드마다.다음과 같은 Chern number를 정의할 수 있습니다.:
$$C_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\text{BZ}}{F}_{12}(\mathbf{k})d^{2}k.$$
여기서 $n$은 밴드의 표시이고, $F_{12}(\mathbf{k})$는 해당 밴드의 Berry 곡률(\textit{Berry curvature})을 나타냅니다.
Berry 곡률은 Berry 접속 $\mathbf{A}(\mathbf{k})$의 회전(rotational)으로 정의되며 ,
구체적으로 2차원인 경우에는
$$F_{12}(\mathbf{k})=\frac{\partial A_2}{\partial k_1}-\frac{\partial A_1}{\partial k_2}$$
로 주어집니다.
여기서 Berry 접속 $\mathbf{A}(\mathbf{k})=(A_1, A_2)$는 밴드 고유상태 $|u_n(\mathbf{k})\rangle$의 국소적 위상 변화율로, 각 성분은 다음과 같이 정의됩니다.:
$$A_j(\mathbf{k})=i⟨u_n(\mathbf{k})\mid \frac{\partial }{\partial k_j}{u}_n(\mathbf{k})⟩.$$
이때 $|u_n(\mathbf{k})\rangle$는 $n$번째 밴드의 Bloch 파동함수(주기적 부분)이고, $\langle u_n|u_n\rangle = 1$로 정규화되었다고 가정합니다.
식 $\text{(???)}$의 정의는 $|u_n(\mathbf{k})\rangle$의 위상 선택, 즉 게이지에 의존하지만, 식 $\text{(???)}$의 Chern number $C_n$은 게이지 의존적이지 않도록 정의됩니다.
실제로 $C_n$은 토러스 전체(경계가 없음)에 대한 적분이므로, 전역적으로 매끄러운 게이지를 선택할 수 있다면 경계항이 없어져 항상 $C_n=0$이 됩니다.
\textit{밴드가 non-trivial 위상(Chern number $\neq 0$)}을 갖는 경우는 $\mathbf{A}(\mathbf{k})$를 브릴루앙 존 전체에서 하나의 단일한 연속함수로 정의할 수 없을 때에만 발생합니다. 
이 경우 브릴루앙 존을 여러 패치(patch)로 나누고 각 패치마다.부드러운 게이지(위상 기준)를 선택해야 합니다. 
두 패치의 겹치는 영역에서는 파동함수의 위상이 서로 다를 수 있으며, 두 게이지 사이의 변환은 겹친 경계에서의 $U(1)$ 게이지 변환으로 표현됩니다. :
$$|u_n^{\prime }(\mathbf{k})⟩=e^{i\mathrm{\Lambda }(\mathbf{k})}|u_n(\mathbf{k})⟩.$$
여기서 $e^{i\Lambda(\mathbf{k})}$는 두 게이지 사이의 위상차(게이지 인자)입니다.
이에 따른 Berry 접속의 변환은
$A'_j = A_j + \partial_j \Lambda(\mathbf{k})$ 꼴이 되며,
패치 경계상의 게이지 변환 함수 $\Lambda(\mathbf{k})$는 폐곡선을 따라 돌았을 때 $2\pi$의 정수배만큼 변할 수 있습니다.
이 \textit{게이지 변환의 감김수(winding number)}가 바로 Chern number로 연결됩니다.
구체적으로, 한 패치의 경계에서 다른 패치로의 게이지 변환 위상함수 $\Lambda(\mathbf{k})$가 경계를 한 바퀴 돌 때 얼마나 $2\pi$만큼 변하는지(즉 $e^{i\Lambda}$의 위상도수가 몇인지)가 Chern number의 값이며, 이는 항상 정수로 양자화됩니다.

\section{격자 브릴루앙 존에서의 Chern number 계산 방법}

\subsection{이산 격자 공식의 아이디어}
앞 절에서는 연속적인 브릴루앙 존(계속 $k$-공간)을 가정하여 Chern number를 정의했지만, 실제 계산에서는 유한 개의 격자 $k$점들만 다룹니다.
가장 단순한 접근법으로는 연속적인 공식에서 모든 미분을 유한 차분으로 대체하고, 면적분을 유한합으로 근사하는 것입니다.
즉 Berry 접속은 인접한 $k$점 간 파동함수 변화로 근사하고, Berry 곡률은 유한 차분으로 계산한 $A_1, A_2$의 격자회전으로 근사하여 각 격자 plaquette(작은 폐곡선 영역)에 대해 계산한 뒤 합산하는 방법입니다.
이러한 방법을 따르면 격자 간격을 줄이는 극한($\Delta k \to 0$)을 취해 연속적 결과에 수렴시킬 수 있지만, 매우 미세한 격자를 요구하여 계산 비용이 크게 증가할 수 있습니다.
또한 계산 중간에 개별 Berry 접속이나 곡률 값이 특정 게이지 선택에 의존하기 때문에, 게이지를 잘못 다루면 최종 Chern number가 잘못 계산될 위험도 있습니다.

Fukui 등은 위 문제를 해결하기 위해, \textbf{게이지 불변}이 보장되고 격자 간격이 비교적 커도 정확한 정수 Chern number를 얻을 수 있는 새로운 격자 공식을 제안했습니다. 
이 접근법의 핵심은 연속적인 Berry 접속 대신, 격자상에서 정의된 \textit{링크 변수(link variable)}를 사용하는 것입니다.
우선 브릴루앙 존을 $N_1\times N_2$ 크기의 격자로 이산화하고, 격자점들을
$${\mathbf{k}}_{\mathbf{n}}=(k_{1,n_1},k_{2,n_2})(n_1=0,\dots ,N_1-1,n_2=0,\dots ,N_2-1)$$
로 표시합니다.
각 격자 간격은 $\Delta k_1 = 2\pi/N_1$, $\Delta k_2 = 2\pi/N_2$로 취하여 브릴루앙 존 전체를 커버하도록 합니다.
이제 $n$번째 밴드의 파동함수 $|\psi_{n}(\mathbf{k}_{\mathbf{n}})\rangle$들이 주어졌다고 할 때, 인접한 두 $k$점 사이의 링크 변수를 다음과 같이 정의합니다.:
$$U_{\mu }(\mathbf{n})=\frac{⟨{\psi }_n({\mathbf{k}}_{\mathbf{n}})\mid {\psi }_n({\mathbf{k}}_{\mathbf{n}+\hat{\mu }})⟩}{|⟨{\psi }_n({\mathbf{k}}_{\mathbf{n}})\mid {\psi }_n({\mathbf{k}}_{\mathbf{n}+\hat{\mu }})⟩|}.$$
여기서 $\mu=1,2$는 격자 방향($k_1$ 또는 $k_2$)을 나타내고, $\mathbf{n}+\hat{\mu}$는 $\mathbf{n}$에서 해당 방향으로 한 격자만큼 이동한 위치를 의미합니다.
$\langle \psi \mid \phi\rangle$는 두 파동함수의 내적이며, 분모는 그 절대값으로서 링크 변수가 순수한 $U(1)$ 위상 인자(복소 위상)만을 갖도록 해줍니다.
일반적으로 밴드가 비축퇴(non-degenerate)라면 충분히 작은 격자 간격에서 인접 $k$점 간 내적은 $0$이 아닐 것이므로, $U_{\mu}(\mathbf{n})$는 잘 정의됩니다.
이 링크 변수를 이용하면, 더 이상 임의의 $k$-공간 파동함수 위상을 직접 다룰 필요 없이 인접한 점들 사이의 \textbf{상대적 위상}만으로 정보를 전달할 수 있습니다.

다음으로 링크 변수를 사용하여 격자 Berry 곡률에 대응하는 \textbf{격자 장세기(field strength)}를 정의합니다.
2차원 격자의 한 작고 폐곡선(예: 격자의 한 사각 plaquette)을 생각하면, 그 주위를 돌며 얻는 전체 위상 변화는 해당 plaquette에 축적된 Berry 플럭스(곡률 적분)에 대응합니다.
이를 격자 표현으로 쓰면 다음과 같습니다.:
$$F_{12}(\mathbf{n})=\ln [U_1(\mathbf{n})U_2(\mathbf{n}+\hat{1})U_1^{-1}(\mathbf{n}+\hat{2})U_2^{-1}(\mathbf{n})].$$
여기서 $U^{-1}$은 링크 변수의 복소 켤레(역수)에 해당합니다.
네 개의 링크를 곱한 것은 plaquette 경로를 따라 $U(1)$ 위상인자를 모두 곱한 것이고, $\ln[\cdot]$은 그 결과의 복소 로그(logarithm)를 취해 합성된 위상각(라디안 단위)을 산출합니다.
이 로그는 $(-\pi, \pi]$ 범위의 \textit{주값(branch cut)}으로 정의되며, 따라서 $F_{12}(\mathbf{n})$는 해당 plaquette에 통과하는 Berry 곡률의 총 위상을 나타냅니다.
식 $\text{(???)}$로 얻은 격자 장세기 $F_{12}(\mathbf{n})$는 \textbf{게이지 변환에 대해 불변}입니다.
$$\text{Unknown environment 'figure'}$$

\subsection{격자 Chern number 정의}
마지막으로, 격자에서의 Chern number $C_n$을 각 밴드별로 정의합니다.
연속 경우와 마찬가지로 격자 브릴루앙 존 전체에 대해 장세기를 적분(여기서는 합산)한 값으로 주어지며, 식 $\text{(???)}$의 로그 값이 이미 위상각(라디안)임을 감안하여 다음과 같이 정의합니다.:
$$C_n=\frac{1}{2\pi i}\sum _{\mathbf{n}}{F}_{12}(\mathbf{n})=\frac{1}{2\pi i}\sum _{\mathbf{n}}\ln [U_1(\mathbf{n})U_2(\mathbf{n}+\hat{1})U_1^{-1}(\mathbf{n}+\hat{2})U_2^{-1}(\mathbf{n})].$$
여기서 합은 전체 브릴루앙 존의 모든 격자 plaquette에 대해 수행합니다.
식 $\text{(???)}$으로 얻은 $C_n$은 연속 식 $\text{(???)}$의 격자 근사에 해당하지만, \textit{격자 간격에 상관없이 항상 정확히 정수값}을 산출한다는 점에서 특별합니다.
또한 명시적으로 $U(1)$ 위상들의 곱으로만 이루어져 있으므로, 게이지 불변임이 자명합니다.
정리하면, 식 $\text{(???)}$의 정의를 통해 어떤 게이지에서 계산하든 동일한 정수 $C_n$을 얻으며, 이는 연속계의 Chern number와 마찬가지로 밴드의 위상 특성을 나타냅니다.

\subsection{정수 양자화의 기원}
격자 Chern 수가 항상 정수로 양자화되는 이유는 식 $\text{(???)}$의 로그 연산에 수반되는 \textit{branch} 선택과 깊이 연결되어 있습니다.
여기서 $\ln$ 함수를 $(-\pi,\pi]$ 범위로 정의하면, plaquette 한 개에 축적되는 Berry 곡률의 위상각이 $2\pi$를 넘어가거나 $-2\pi$ 아래로 내려가는 경우 그 초과분(정확히 $2\pi$의 배수)은 잘려나가게 됩니다.
이렇게 잘려나간 부분을 보정하기 위해 각 plaquette별로 정수장(integer field) $n_{12}(\mathbf{n})$를 도입할 수 있고,
이 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$는 “branch 절단을 넘어간” $\pm 2\pi$ 단위들을 기록하는 역할을 합니다.
결국 식 $\text{(???)}$에서 전체 plaquette에 대해 $F_{12}(\mathbf{n})$를 합산하면,
잘려나간 $2\pi$ 단위들의 총합(정수 배)이 재구성되어 정수값으로 귀결됩니다.
이는 연속계에서 “\textit{패치 경계의 게이지 변환}”이 폐곡선을 한 바퀴 도는 동안 $2\pi$ 배만큼 위상이 변해 Chern 수가 정수로 양자화되는 원리와 정확히 대응합니다.
즉, 연속계에서 패치 경계가 담당하는 역할을 격자 공식에서는 각 plaquette의 정수장 $n_{12}$가 대신하는 셈입니다.

또한 격자 Chern 수가 올바르게 정의되려면 \textbf{밴드 간 에너지 격차(gap)}가 열려있어야 한다는 조건도 중요합니다.
밴드 $n$이 다른 밴드와 어떤 $\mathbf{k}$에서든 겹치거나 퇴화하지 않아야 Berry 곡률에 특이점이 생기지 않고,
충분히 세밀하게 격자를 잡으면 식 $\text{(???)}$이 안정적으로 계산됩니다.
만약 격자가 지나치게 성겨서 어떤 plaquette 하나에 지나치게 많은 Berry 곡률이 몰리면(즉, plaquette 하나가 $\pi$ 이상의 위상각을 포함하게 되면) 해당 plaquette에서 $n_{12}(\mathbf{n}) \neq 0$가 등장하지만,
그럼에도 불구하고 \textit{최종 합}은 정수 양자화를 유지합니다.
이는 격자 간격을 점점 줄이면 연속계 해석에 수렴함을 보장하고, 또 극한 과정을 거치지 않아도 비교적 적은 격자점으로도 \textit{정수} Chern 수를 정확히 재현할 수 있다는 점에서
Fukui--Hatsugai--Suzuki 방법의 큰 장점이라 할 수 있습니다.

정리하자면, (1) plaquette별 로그값의 branch 선택으로 인해 발생하는 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$가 Chern 수를 정수로 만드는 근본적 기제이며,
(2) 에너지 갭이 열려있어 각 밴드에 특이점이 없을 때 이러한 정수 양자화가 올바르고 안정적으로 정의된다는 것입니다.
이는 연속적인 $k$-공간에서의 패치 게이지 이론과 동일한 물리적 함의를 가지며,
\textbf{격자화}된 방식으로 Chern 수를 효율적이고 견고하게 계산하는 길을 열어 줍니다.

\subsection{정수장의 역할}
앞 절에서 언급한 정수장(integer field) $n_{12}(\mathbf{n})$는 격자 Berry 곡률이 특정 범위를 초과하는 경우 이를 보정하는 역할을 합니다.
이를 보다 명확하게 이해하기 위해, 먼저 식 $\text{(???)}$를 다시 살펴보면:
$$F_{12}(\mathbf{n})=\ln [U_1(\mathbf{n})U_2(\mathbf{n}+\hat{1})U_1^{-1}(\mathbf{n}+\hat{2})U_2^{-1}(\mathbf{n})]$$
여기서 $\ln$ 연산은 $(-\pi,\pi]$ 범위에서 정의되므로, 어떤 플라케트에서 Berry 곡률의 총합이 $2\pi$보다 크거나 $-2\pi$보다 작으면, 그 초과분은 $2\pi$ 단위로 잘려나갑니다.

이때 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$는 이러한 잘려나간 부분을 보정하는 추가적인 항으로 도입됩니다:
$$F_{12}(\mathbf{n})={\tilde{F}}_{12}(\mathbf{n})+2\pi n_{12}(\mathbf{n})$$
여기서 $\tilde{F}_{12}(\mathbf{n})$는 $(-\pi,\pi]$ 범위로 잘린 Berry 곡률을 나타내며, $n_{12}(\mathbf{n})$는 $\pm 2\pi$ 단위로 초과된 값들의 정수 배를 기록하는 역할을 합니다.

결과적으로 Chern 수를 계산하는 식 $\text{(???)}$에서 $\sum_{\mathbf{n}} F_{12}(\mathbf{n})$를 수행할 때, 모든 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$의 총합이 $2\pi$의 배수로 모여, 최종적으로 Chern 수가 정수값을 갖도록 보장해줍니다.
이 과정은 연속적인 경우에서 패치(patch) 간 게이지 변환 감김수가 정수로 유지되는 원리와 정확히 일치합니다.

$$\text{Unknown environment 'figure'}$$


\section{수치 계산 예시: Haldane 모델}
본 방법을 검증하기 위해 자주 인용되는 예시는 위상적 특성을 가지는 2차원 벌집 격자 모형인 Haldane 모델입니다. 
이 모델은 시간반전대칭이 깨진 상태에서 무자기장 양자 홀 효과( extit{Quantum Anomalous Hall Effect})를 실현하는 대표적인 격자 모형으로, 최근 위상 물질 연구에서 중요한 역할을 하고 있습니다.

Haldane 모델의 해밀토니안은 다음과 같이 주어집니다.
$$H=t\sum _{⟨i,j⟩}{c}_i^{†}{c}_j+t_2\sum _{⟨⟨i,j⟩⟩}{e}^{i{\nu }_{ij}\varphi }{c}_i^{†}{c}_j+M\sum _i{\xi }_i{c}_i^{†}{c}_i,$$
여기서 첫 번째 항은 N.N hopping(Heisenberg 상호작용), 두 번째 항은 복소 위상을 포함하는 N.N.N hopping, 세 번째 항은 격자 sublattice에 의존하는 on-site 질량항을 나타냅니다. 
$
u_{ij} = \pm1$은 hopping 방향에 따른 위상인자이고, $\phi$는 복소 위상의 크기를 조절하는 parameter입니다.

특히, $\phi = \pi/2$이고 질량항 $M=0$인 경우, Haldane 모델은 non-trivial 위상적 성질을 갖게 되어 Chern 수가 1이 되는 위상 부도체 상태를 형성합니다.
이러한 위상적 성질은 Berry 곡률과 Chern 수 계산을 통해 정량적으로 분석할 수 있습니다.

계산은 두 가지 브릴루앙 존 격자 해상도($N_1\times N_2 = 10\times 10$와 $30\times 30$)에서 수행되었으며, 두 경우 모두 식 $\text{(???)}$을 사용했을 때 \textbf{Chern number가 1}로 일치하는 결과를 얻었습니다.
이는 격자가 조밀하지 않아도(10×10) 정확한 정수값이 재현됨을 보여줍니다.
또한 더 조밀한 30×30 격자에서 구한 Berry 곡률 분포가 연속계 해석과 잘 일치함을 직접 확인할 수 있었습니다.
즉, 격자를 점점 미세하게 하면 식 $\text{(???)}$ 결과가 연속 공식 $\text{(???)}$에 수렴함을 의미합니다.

위 계산 결과를 통해 Haldane 모델이 위상적 부도체 상태에 있음을 확인할 수 있으며, 이 방법이 Chern 수 계산에 있어 효과적인 수치적 접근법임을 다시 한번 검증하였습니다.

\section{게이지 독립성과 패치워크 게이지}
\subsection{게이지 선택에 따른 정수장 분포}
Chern number는 어떤 게이지를 택하더라도 불변이지만, 중간 과정에서의 Berry 접속이나 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$ 분포는 달라질 수 있습니다.
이를 명시적으로 확인하기 위해, 동일한 밴드에 대해 전역 게이지 A/B와 \textit{패치워크 게이지(patchwork gauge)}를 사용했을 때의 $n_{12}$ 분포를 비교할 수 있습니다.
전역 게이지는 브릴루앙 존 전체에서 한 번에 파동함수 위상을 이어주는 것이고, 패치워크 게이지는 문제가 되는 일부 영역만 다른 게이지로 전환해 이어붙이는 방식입니다.
게이지 A와 게이지 B를 쓰면 $n_{12}$가 나타나는 plaquette 위치나 +1/-1의 분포가 크게 달라져도, 전체 합은 언제나 $C_n=2$로 동일함을 볼 수 있습니다.

\section{게이지 독립성과 패치워크 게이지}
\subsection{게이지 선택에 따른 정수장 분포}
Chern number는 어떤 게이지를 택하더라도 불변이지만, 중간 과정에서의 Berry 접속이나 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$ 분포는 달라질 수 있습니다.
이를 명시적으로 확인하기 위해, 동일한 밴드에 대해 전역 게이지 A/B와 \textit{패치워크 게이지(patchwork gauge)}를 사용했을 때의 $n_{12}$ 분포를 비교할 수 있습니다.

전역 게이지는 브릴루앙 존 전체에서 한 번에 파동함수 위상을 이어주는 방식이며, 패치워크 게이지는 특정 지역에서 국소적으로 다른 게이지를 도입하여 부드러운 전환을 이루는 방식입니다.
즉, 전역 게이지 A를 사용할 경우 특정 $k$-공간에서 $n_{12}$ 값이 급격히 변하거나 집중적으로 분포할 가능성이 높아지며, 반대로 게이지 B를 사용하면 다른 영역에서 비슷한 현상이 발생할 수 있습니다. 그러나 최종적으로 모든 plaquette에서의 정수장 $n_{12}$ 값을 합하면 동일한 Chern number $C_n$을 얻어야 합니다.

이를 실험적으로 확인하기 위해, 두 개의 서로 다른 전역 게이지(A와 B)를 적용하여 $n_{12}$ 분포를 계산한 결과, 개별 plaquette에서의 $n_{12}$ 값은 게이지에 따라 다르게 분포하지만 전체 합이 항상 동일함을 확인할 수 있었습니다. 또한 패치워크 게이지를 적용한 경우, $n_{12}$ 값이 국소적인 패치 내부에서는 사라지고, 패치의 경계 부분에서만 불연속적인 변화가 발생하며, 전체적으로 Chern number와 일치하는 값을 유지하였습니다.

즉, 게이지 선택이 중간 과정에서 $n_{12}$ 분포를 다르게 만들 수 있지만, 최종적으로 계산된 Chern number는 게이지 선택과 관계없이 보존된다는 점이 확인되었습니다. 이는 위상적 성질이 게이지 독립적인 양자수임을 수치적으로 증명하는 결과라 할 수 있습니다.


\section{결론}
본 문서에서는 Fukui--Hatsugai--Suzuki 방법을 통해 \textbf{이산 브릴루앙 존에서 Chern number를 효율적이고 게이지 불변적으로 계산하는 법}을 정리했습니다.
링크 변수 $U_{\mu}(\mathbf{n})$와 plaquette 로그(\textit{field strength})를 사용함으로써, 매우 성긴 격자라도 \textit{항상 정수값}을 내는 Chern number 공식을 구현할 수 있음을 확인했습니다.
이는 전통적 미분 근사 방식에서 발생하는 게이지 고정 문제나 과도한 격자 세분화 문제를 크게 완화해주며, 양자 홀 전도도 등 위상적 성질을 실제 모델에서 효율적으로 계산할 수 있게 해줍니다.

더 나아가, 정수장 $n_{12}(\mathbf{n})$가 게이지 변환 감김수와 직접적으로 대응한다는 점을 통해 \textit{연속계에서의 패치 게이지 이론}과 정확히 합치함도 보았습니다.
즉, Chern number는 본질적으로 \textbf{게이지 불연속}이 만드는 \textit{위상 도약}의 총합이며, 격자 공식은 이를 수치적으로 안전하고 간결하게 재현해주는 도구로 작동합니다.
이 기법은 유한계나 상호작용 계로의 확장 가능성도 탐색되고 있으며, 차후 다양한 위상 부도체, 위상 초전도, 고차 위상 부도체 연구에 폭넓게 응용될 것으로 기대됩니다.

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\noindent \textbf{참고문헌:}\
\noindent
- Fukui, T., Y. Hatsugai, and H. Suzuki, ``Chern Numbers in Discretized Brillouin Zone: Efficient Method of Computing (2005).'' 
  \textit{arXiv:cond-mat/0503172} 등.\
- AR5IV.ORG 등에서 제공되는 관련 문헌 및 자료들.

\end{document}