Hidden Plaquette Order in a Classical Spin Liquid Stabilized by Strong Off-Diagonal Exchange
- by Preetha Saha, Zhijie Fan, Depei Zhang, and Gia-Wei Chern
<Summary>
이 논문은 집단 flux degree of freedom이 honeycomb lattice의 translational symmetry를 깨뜨리는 새로운 Classical Spin Liquid에 대한 것이다. 이 같은 이질적인 phase는 frustrated spin-orbit magnet에서 존재하는데, 여기서는 off-diagonal exchange의 영향이 지배적이다. 이것을 보통 Γ-term이라 부르는데, 고전적인 수준에서 macroscopic 한 ground state 에서 존재한다.
(우리는 스핀을 화살표 정도로 생각하는 classical model을 다루고 있다.)
이 시스템이 임계온도 $T_{c} = 0.04|\Gamma|$ 근처에서 발생하는 thermal order by disorder에 의해 촉발된 phase transition을 묘사한다. 이러한 phase transition은 spherical symmetry를 cubic symmetry로 줄이는데, $T < T_{c}$ 에서는 여전히 무질서함이 남아 있다
중요한 것은, 이 논문에서 phase transition이 honeycomb flux의 hidden plaquette ordering과 관련이 있으며, 이는 cubic symmtery를 명시적으로 깨뜨리는 시나리오란 것을 보여주었다는 것이다. (이것은 Monte Carlo simulation을 통해 확인되었다)
그리고 스핀 액체 상태의 동적 구조 인자를 추가로 계산하고, 육각형 플럭스 매개변수의 독특한 동적 특성을 밝혀냈다.
<Body>
논문은 처음에는 Mott insulator에 대해 논하며 시작한다.
strong orbit coupling을 가지는 Mott insulator는 최근에 지대한 관심을 끌었다. Mott insulator란 기존의 전통적인 band theory에서는 conductor일 것으로 예상되나, 실제로는 강한 전자간의 상호작용으로 인해 insulator로 관찰되는 물질을 말한다.(이에 관해서는 Patrik Fazekas의 'Lecture notes on electro correlation and magnetism 을 참조하여 차후 설명하겠다.)
이 같은 물질에서 국소적인 자기 자유도는 상당한 궤도 특성을 가진 실체이다. 여기서 궤도 특성이란, 오비탈과
Frustrated spin orbit magnet와 에 대한 최근의 지대한 관심은 특정 4d, 5d Mott insulator에서 스핀 상호작용이 anisotropic(이방성) 구현에 의해 지배된다는 인식에 의해 촉발되었다.
본문에서 다루는 honeycomb lattice의 해밀토니안은 다음과 같다.
$$ \mathit{H} = \Gamma \sum_{\gamma} \sum_{\langle ij \rangle \parallel \gamma} (S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\beta} + S_{i}^{\beta} S_{j}^{\alpha})
$$
여기서 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 는 $(x,y,z)$ 의 순열이다.
$\Gamma$ - 모델의 ground state는 매우 크게 degenerate되어 있다.
여기서 Unit cell은 다음과 같이 그려진다.
보다시피 Generic ground state는 원래 $\hat{n} = (a,b,c)$를 이용해 나타낼 수 있었다. 그런데, 실제로는
이와 같이 스핀의 다발 모양으로 나타난다.
이 방향은 Thermal fluctuation 에 의한 order-by-disorder mechanism에 의해 spherical symmetry가 깨져 생긴 것이다.
이에 대해 해당 논문의 설명은 다음과 같다.
Order-by-disorder 메커니즘은 특정한 종류의 상전이를 설명하는 개념이다. 이를 결정하는 원인으로 Quantum fluctuation도 있지만, 여기서는 시스템 내에서 경쟁하는 서로 다른 2개 이상의 상호작용이 있을 때, 온도에 의한 열적 변동(thermal fluctuation)이 원래의 무질서(disorder)한 상태에서 질서 있는 상태로 시스템을 유도하는 현상을 말한다. 즉, 열적 변동이 시스템을 더 낮은 에너지 상태로 이끌어, 결과적으로 대칭성이 깨지는 질서 있는 상태가 형성된다.
구체적으로, 이 경우에는 스핀 시스템이 낮은 온도에서 구형 대칭성(spherical symmetry)을 가질 수 있지만, 온도가 증가하면서 열적 변동이 이 대칭성을 깨트리고, 시스템은 특정한 방향으로 스핀을 정렬하게 된다. 이러한 과정은 스핀 방향성이 무작위적으로 배치되어 있는 것처럼 보이지만, 실제로는 열적 변동에 의해 특정한 방향으로 정렬되는 숨겨진 질서(order)를 나타낸다는 사실을 보여주는 것이다.
여기서 $$ W_{\alpha} = S^x _1 S^y _2 S^z _3 S^x _4 S^y _5 S^z _6 $$ 이라는 식이 나오는데, ($\boldsymbol{S}_1$ , ... $\boldsymbol{S}_6$ 는 $\alpha$ 육각형 주변의 6개의 스핀을 말한다.
spin - 1/2 Kitaev model에서는 Hamiltoninan 상에서 integrals of motion이 됨을 Kitaev가 보였다.
(https://arxiv.org/abs/cond-mat/0506438)
Anyons in an exactly solved model and beyond
A spin 1/2 system on a honeycomb lattice is studied. The interactions between nearest neighbors are of XX, YY or ZZ type, depending on the direction of the link; different types of interactions may differ in strength. The model is solved exactly by a reduc
arxiv.org
우리의 케이스에서는 flux $\W_{ \alpha }$ 가 $\eta_{\alpha}$에 대해 독립적이면서 gauge-invariant한 변수이다.
(*Gauge invariant in condensed matter physics*)
우선 1D chain에서의 tight binding model을 생각하자.
$$ H = t \sum_i (c^{\dagger}_i c_{i+1} + \text{h.c.}) $$의 해밀토니안으로 표현할 수 있다.
이 떄, wavefunction은 물론이고 이것의 phase 또한 물리적으로 관측 가능한 양이 아니므로
$$ | \psi \rangle \ \longleftrightarrow e^{i\theta} | \psi \rangle \ $$
이고,
2nd quantization에 의하여 annhiliation/creation operator를 정의한다.
$$c^{\dagger} _i \rightarrow e^{i\theta} c^{\dagger} _i $$
$$c_{i+1} \rightarrow e^{-i\theta} c_{i+1} $$
라 쓸 수 있다.
그렇게 하더라도, 해밀토니안은 여전히
$$H'=t \sum_i ( e^{i\theta} c^{\dagger} _i c_{i+1} e^{-i\theta} + h.c )
=H
$$
가 나오므로 게이지 변환에 대하여 불변이다.
이 때, phase $\theta$가 lattice 상의 모든 지점에서 같다는 가정을 하였으므로, 이것은 Global symmetry라 불린다.
만일 phase $\theta$가 site dependent한 양이라면?
2nd quantization에 의하여 annhiliation/creation operator를 정의한다.
$$c^{\dagger} _i \rightarrow e^{i\theta _i} c^{\dagger} _i $$
$$c_{i+1} \rightarrow e^{-i\theta_i} c_{i+1} $$
이렇게 해서 만든 해밀토니안은
$$H'=t \sum_i ( e^{i\theta _i} c^{\dagger} _i c_{i+1} e^{-i\theta_i} c_{i+1} + h.c )$$
이다.이 때 $e^{i\theta _i} e^{-i\theta_i} \neq 1$ 이므로, 여기서는 Global한 symmtry가 붕괴된 상황이다.
대신에, 새로운 물리량 $\A_i \coloneqq \theta_i-\theta_{i+1} $ 이라 할 때, Gauge transformation$$A_i \rightarrow A_i+\theta_i-\theta_{i+1}$$을 거친다면 $ c^{\dagger}_{i} c_{i+1} e^{-A_i} $가 $ c^{\dagger}_{i} c_{i+1} $이 된다.
이 때, Local gauge symmtry를 가진다고 한다.
출처 :
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.122.257204
Hidden Plaquette Order in a Classical Spin Liquid Stabilized by Strong Off-Diagonal Exchange
We report a new classical spin liquid in which the collective flux degrees of freedom break the translation symmetry of the honeycomb lattice. This exotic phase exists in the frustrated spin-orbit magnets where a dominant off-diagonal exchange, the so-call
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