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Classical Spin Liquid Instability Driven By Off-Diagonal Exchange in Strong Spin

이 글은 지난 글인 https://study-physics-with-lynx.tistory.com/181

 

Hidden Plaquette Order in a Classical Spin Liquid Stabilized by Strong Off-Diagonal Exchange 리뷰 1

Hidden Plaquette Order in a Classical Spin Liquid Stabilized by Strong Off-Diagonal Exchange - by Preetha Saha, Zhijie Fan, Depei Zhang, and Gia-Wei Chern 이 논문은 집단 flux degree of freedom이 honeycomb lattice의 translational symmetry를 깨뜨

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의 선행 연구이므로 2를 시작하기 전에 먼저 리뷰하도록 하겠습니다.

 

 

QSLs는 수십 년 전에 처음 제안된 이래 상관 전자 물질 연구의 중심 주제 중 하나가 되었다. 이들은 zero-temperature에서도 자기적 질서를 회피하며, 위상적 기저 상태의 다중성, 장거리 얽힘, fractional excited state와 같은 놀라운 집단 현상을 포함한다.
 
3d 이온을 포함한 좌절된 Mott 절연체에 대한 연구는 주로 등방성 상호작용이 지배적인 여러 QSL 후보를 이끌어냈다.
하지만 최근 몇 년 동안 강한 스핀-궤도 결합(SOC)과 지배적인 이방성 상호작용을 가진 4d 및 5d 물질, 즉 Jackeli-Khaliullin-Kitaev (JKK) 시스템이 QSLs의 또 다른 주요 연구 대상으로 부상했다.

이 시스템은 Kitaev에 의해 제안되고, 후보 물질은 Jackei와 Khaliullin이 찾아내서 제시한 것이다.

 
JKK 시스템에서 바람직한 frustration의 핵심 요소는 세 가지 coordination과 나침반과 같은, Nearest Neighbor(N.N) Ising 상호작용이다. 이러한 Kitaev 이방성은 지배적인 상호작용이지만, 모든 JKK 물질은 충분히 낮은 온도에서 magnetic order를 보이며, Kitaev QSLs가 외란에 대해 취약하다는 예측과 일치한다.
 
그럼에도 불구하고, JKK 시스템에서 스핀 액체 물리학에 대한 열망은 여전히 유효하다.

새로운 실험적 방향은 자기장, 화학적 치환, 압력과 같은 외부 외란을 사용하는 것이다.
예를 들어, β-Li2IrO3의 경우, 압력에 따른 X-선 자기 원형 이색성(XMCD) 실험은 신호가 압력과 함께 크게 감소하고 약 2 GPa에서 완전히 억제됨을 보여준다.

 
시스템이 압력 하에서도 절연체로 남아 있기 때문에, 저자들은 시스템이 스핀 액체 체제로 이동한다고 제안하며, Kitaev QSL이 첫 번째 의심 대상이다.
 
그러나 놀랍게도, 독립적인 두 개의 ab initio 연구에 따르면, 압력은 시스템을 이상적인 Kitaev 모델에서 더 멀어지게 하며, 점점 더 관련성이 높아지는 상호작용은 symmetric off-diagonal exchange, 혹은 Kitaev exchange  Γ이다.

이 같은 보고에서 영감을 받아, 저자들은 이 문제를 조사하기로 결정한 것이다.

 
 
여기서 연구진은 대칭적인 off-diagonal exchange Γ가 dominant coupling인 영역에서 JKK 시스템의 물리학을 조사하기로 결정했다. 이 연구에서 주목할 만한 결과는 Γ coupling이 이 시스템들을 무한한 수의 기저 상태를 가진 고전적 스핀 액체 체제로 이끈다는 것, 그리고 모든 2D/3D JKK 시스템에서 공통적으로 나타났다는 점이다. 이는 Γ coupling이 큰 영역으로 갈수록 spin correlation length가 극도로 작아진다는 기존의 연구결과와 일치한다.
 
무한한 degeneracy는 우연이 아니라, 고전 스핀에만 존재하는 무한한 수의 0D/1D 게이지 대칭성에서 비롯된다. 양자 스핀의 경우, 이 degeneracy는 결국 Γ의 부호에 크게 의존하는 에너지 스케일에서 order-by-disorder 메커니즘에 의해 제거된다.

Γ>0인 경우, 주요 quantum fluctuation이 frustration을 제거하지 못해 매우 낮은 온도까지 "cooparative paramagnet" 상태로 남는다.
Γ<0인 경우, fluctuation은 총 (magnetic)모멘트가 사라지는 noncoplanar 상태를 선택한다. 이 두 시나리오는 모두 X-선 자기 원형 이색성(XMCD) 데이터와 일치하지만, 후자는 ab initio 연구에 따라 β-Li2IrO3에 더 관련이 있을 수 있다.
 
즉, JKK 시스템에서 Γ결합이 어떻게 시스템의 양자 및 고전적 행동에 영향을 미치는지, 그리고 이러한 시스템이 양자 스핀 액체 상태로의 전환을 어떻게 탐색하는지에 대해서 탐구를 해 온 것이다.
 

JKK SYstem, 3가지 타입의 N.N bond 가 있다. \boldstyleSi는 위치 i에서의 pseudospin

 
 
해빌토니안의 비대각성분은

H=±Γijx(SxiSzj+SziSxj)±Γijy(SyiSzj+SziSyj)+Γijz(SxiSyj+SyiSxj)
이다.

앞에 ± 이 붙는 이유는 \x,\y bond에서 coupling 변수들을 3차원 상에서 조절해 주기 위함이다.
2차원의 경우는 모두 + 부호이다.
 
Classical limit - \boldstyleSi 를 길이 S를 가진 벡터로 표시하고, 2차원 honeycomb 격자상에 존재한다고 가정하는 Classical limit을 적용하자.

이 시스템이 매우 높이 frustrate 된 상태라는 사실은 6×6 interaction matrix \boldstyleΛ\boldstylek의 가장 낮은 eigenvalue를 momentum space 상에서 찾으면서 알아낼 수 있다.
다음 그림처럼 완전히 flat 한 모양을 띤다.

 

이 Flat 한 eigenvalue는 어디서 나온 것일까?

해밀토니안을 quadratic form으로 정리하였을 때, 그 모습은 다음과 같다.
ˆH=(ˆb1ˆb2ˆb3ˆb4ˆb5ˆb6)(m11m12m13m14m15m16m21m22m23m24m25m26m31m32m33m34m35m36m41m42m43m44m45m46m51m52m53m54m55m56m61m62m63m64m65m66)(ˆb1ˆb2ˆb3ˆb4ˆb5ˆb6)

 

그리고 우리는 이를 대각화하여 다음과 같이 나타낸다.

$$ \hat{H} = (β1β2β3β4β5β6) (λ1000000λ2000000λ3000000λ4000000λ5000000λ6) (β1β2β3β4β5β6)

$$

 

이 때, 대각선 성분에 있는 상수 λi 들이 바로 다음에 보이는 flat band를 이루는 것이다.

만일 이것들이 상수가 아니라면 조금 더 복잡한 dispersion relation을 이루게 된다.

 

 

고전 에너지의 푸리에 변환에 기여하는 행렬 \boldstyleΛ\boldstylek의 스펙트럼인 λ16/\absΓ을 참조하라.

 
 
왜 이렇게 커다란 degeneracy를 보이는지에 대해서 연구하기 위해서 각 site 당 에너지의 하한(Lower bound)인 λiS2를 포화시키는 상태들을 찾는다.

 

위 그림에서처럼, $|\Gamma| (\S^x _0 \S^y _1+\S^y _0 \S^x _1 )Spin \S_0 ,\S_1$ 라 부르자.

만일 다른 요소들로부터 모두 spin들이 isolated 되어 있다면 에너지는 스핀을 xy평면상에서 배열하고 $ S^x _1 =\zeta \S^y _0,  S^y _1 =\zeta S^x _0 ,\zeta = -sgn(\Gamma)$ 의 성질을 띠도록 하면 된다.

 

Classical Γ model을 2차원 육각형 격자에서 나타낸 것이다. Ising variable의 값이 각각의 육각형에서 정해져 있다.

 

이 때 우리는 site 당 에너지의 크기가 얼마인지를 먼저 알아내어야 한다. 다음의 과정을 통해 쉽게 알 수 있다.

육각격자 시스템의 basis

Momentum space 상에서의 해밀토니안은 다음과 같이 정리된다.

HN=12k(STk,1,STk,2)Λk(Sk,1Sk,2)

 

그리고 이 때, 
Sr,ν=keikrSk,ν,Sk,ν=(Sxk,νSyk,νSzk,ν)

Λk=(0BkBk0)

이고

 

Bk=12(0ΓΓeikt3Γ0Γeikt2Γeikt3Γeikt20)

 

이며, mathbft3=mathbft1mathbft2 이다. 그리고 행렬 Λ 의 꼴 때문에, eigenvector는 \Vmathbfk,α=\Vmathbfk,α 를 만족하여야 한다.

 

이제 에너지 하한선을 구하여 보자. site의 총 개수를 N이라 하면, site 당 에너지 E/N은 다음의 과정을 이용하여 표현 할 수 있다.
우선, spin의 configuration을 Λ의 eigenmode로 표현한 뒤, 위의 해밀토니안에 대입하여 찾는 것이다.

그렇게 하여서 λ1S2 임을 알게 되었다.

 

이제 이렇게 해서 Gamma model이 예측하는 classical 한 ground state의 조건은 xbond일 때와 y bond 일 때와 z bond일 때가 각각 다음과 같다.

xbonds:Syr,2=Szr+t3,1,Szr,2=Syr+t3,1ybonds:Sxr,2=Szrt2,1,Szr,2=Sxrt2,1zbonds:Sxr,2=Syr,1,Syr,2=Sxr,1



출처 :https://arxiv.org/abs/1610.08463

 

Classical spin liquid instability driven by off-diagonal exchange in strong spin-orbit magnets

We show that the off-diagonal exchange anisotropy drives Mott insulators with strong spin-orbit coupling to a classical spin liquid regime, characterized by an infinite number of ground states and Ising variables living on closed or open strings. Depending

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