5. Gravitation

이번 단원에서는 중력에 대해서 다뤘습니다.

 

중력을 계산 할 때, 우리는 간단하게 생각하게 물체를 부피가 없는 점 입자라고 가정을 하고 문제를 접근했었습니다.

하지만 사실 실체로 물체는 부피를 가지고 있고, 우리는 이를 고려해야 합니다.

그래서 밀도를 도입해 중력을 일반화 할 수 있습니다.

비슷한 방법으로 중력장 또한 밀도를 미소부피$체적$으로 적분하여 나타낼 수 있습니다.

 

또한, 중력장은 curl F = 0 이기 때문에 보존장이며, 중력퍼텐셜이라는 것을 도입해 중력장을 나타낼 수 있습니다.

일반적으로 점입자에 의해 생기는 퍼텐셜은 단순히 점입자의 질량 M이라 둘 수 있지만, 일반적으로 물체는 부피를 가지고 있고, 혹은 면적, 혹은 길이를 가지고 있기 때문에 각각의 경우에 맞게 구할 수 있습니다.

 

여기서 표면분포는 내부는 비어있고 겉에만 얇게 물질이 분포해 있는 경우 입니다.

 

중력 퍼텐셜의 의미는 중력장 내에서 물체가 이동할 때 물체가 단위 질량 당 한 일을 나타냅니다.

그렇다면, 퍼텐셜 U는 중력퍼텐셜에 상호작용하는 물체의 질량 m을 곱하면 구할 수 있습니다.

이번에 생각해볼 것은 구각정리입니다. 구각정리는 매우 중요한 정리입니다. 

우선 내부에 공동이 있는 구를 생각해봅시다.

 

전체 반지름은 a, 공동의 반지름은 b라 합시다.

물체는 부피가 있는 연속분포입니다.

여기서 밀도를 일정하다 가정합시다.

미소체적은 데카르트 좌표계에서는 dxdydz로 나타내지지만, 계산하기 복잡하기 때문에 구면좌표계로 바꾸어줍니다.

그러면 중력 퍼텐셜을 구할 수 있습니다.

이때, 세타에 대해 적분하는 항을 다르게 바꿀 것 입니다.

우선 제 2 코사인 법칙에 의해 관계식을 얻을 수 있고, 정리하면 녹색 형광펜으로 친 부분을 얻을 수 있고, 이를 적분식에 다시 대입합니다.

그래서 우리는 중력 퍼텐셜에 대한 식을 구할 수 있습니다.

 

첫 경우는 퍼텐셜을 측정하는 지점이 물체 밖에 있는 경우입니다.

이는 적분 구간을 잘 정해서 구하면 우리가 원래 알고 있는 점입자에 의한 중력 퍼텐셜과 같은 식을 얻습니다.

여기서 b를 0 으로 보내면 밀도가 일정한 구의 질량이 됩니다. 

 

두 번째 경우는 퍼텐셜을 측정하는 지점이 공동 내부에 있는 경우 입니다.

결과적으로 공동 내에서는 모든 지점에서 퍼텐셜이 일정하다는 것을 확인 가능합니다.

마지막 경우는 퍼텐셜을 측정하는 지점이 물질 사이에 있는 경우 입니다. 이는 생각해보면 복잡할 수 도 있지만 생각보다 간단하게 표현됩니다.

 

우선 퍼텐셜을 측정하는 지점을 p라 하고 원점 O에서 p까지 선분  Op를 반지름 R이라 할 때, 반지름을 R로 가지는 구를 가정해봅시다. 이 구의 내부를 in, 구의 외부를 out이라 할 때, in의 퍼텐셜과 out의 퍼텐셜을 단순히 더하면 됩니다.

 

그렇기 때문에, 적분의 상한과 하한을 적절히 바꾸면 구할 수 있습니다.

 

구각정리의 결과로, 물체 A에 의한 물체 외부의 퍼텐셜을 계산 할 때, 물체 A를 점입자로 가정하고 풀 수 있습니다. 정확히는 질량중심에 모든 질량이 모여있다고 생각할 수 있습니다. 

 

또한, 중력 퍼텐셜을 구했으니 중력장을 구할 수 있으며, 각 위치마다 퍼텐셜은 아래와 같습니다.

예제를 풀어봅시다.

두께가 없는 얇은 고리를 생각해봅시다. 이 물체의 평형점은 어디일까요? 단순히 생각해보면, 링의 정중앙이라 생각할 수 있습니다.

 

잘 정리하면, 중력 퍼텐셜을 구할 수 있는 적분식이 나옵니다.

 

 

우리는 루트속를 계산하기 많이 어려우므로, 이항전개를 통해 식을 근사할 수 잇고, 정리하여 이차항까지만 구합시다. 

 

중력 퍼텐셜로부터 퍼텐셜을 구하고, 퍼텐셜에서 힘을 구합니다.

그러면 예상한 지점대로 평형점이 됩니다.

 

하지만 이 점이 안정한지는 잘 모릅니다.

 

그래서 이계도함수 판정법을 이용해 구하면 음수가 나오므로, 불안정한 것을 할 수 있습니다.

 

사실, 퍼텐셜 함수가 이차함수의 최고차항의 계수가 음수이므로 불안정인 것도 추측 가능합니다.

가우스 법칙을 중력에 적용해봅시다. 우선 푸아송 방벙식은 아래 식과 같습니다.

 

우선 질량 m이 있는 지점을 감싸는 폐곡면을 가우스 면으라 가정합시다.

 

중력선속을 구할 수 있으며, 중력선속은 아래와 같습니다.'

 

이때 한 폐곡면을 따라 구하는 입체각은 4*pi 입니다.

이 경우, 점입자에 대해서 구한 것 입니다.

조금 더 일반화를 하여 부피가 있는 물체에 대해서 구해봅시다.

발산 정리에 의해서 관계식을 구하고, 이로서 푸아송 방정식 형태로 구할 수 있습니다.

이때, 라플라시안을 선형연산자로 보고 만약 우변이 디렉-델타 로 나온다면, g는 그린 함수로 풀 수 있고, 이는 미분방정식을 풀 때 유용하게 쓸 수 있습니다.

위에서 폐곡면을 따라서 구하는 입체각을 4*pi라 하였는데, 그 이유를 간단하게 짚고 넘어 가봅시다.

 

입체각의 단위는 스테라디안으로, 면의 면적을 거리의 제곱으로 나눈 값으로, 무차원 입니다.

입체각에 대한 정의는 벡터 해석학이나 위상수학에서 자세히 공부해보시길 바합니다.

입체각에 대한 일반적인 정의는 아래에 있습니다.

 

이때, 구에서 전체 겉 면에 대해 입체각은 4*pi 인것을 간단하게 보일 수 있습니다.

 

입체각의 성질은, 임의의 면 S가 있을 때, 이 면의 입체각을 생각해봅시다. 임의의 구가 구의 원점에서 임의의 면의 가장자리까지 그은 촘촘한 선분을 따라 이 면을 구의 표면에 옮긴다고 생각해봅시다.$구 위로의 사영이라고 생각해봅시다$

임의의 면의 입체각은 임의의 면을 구의 표면으로 옮긴 또 다른 면을 S'이라 할 때,

S와 S'의 입체각은 일치합니다.

 

이러한 관찰로, 임의의 폐곡면에 대한 전체의 입체각은 폐곡면 내부에 임의의 구의 전체 입체각과 같다고 볼 수 있습니다. 

그래서 임의의 폐곡면을 따라 입체각을 구하면 4*pi가 나온다고 생각할 수 있습니다.

 

혹은, 3차원에서 구와 위상동형인  모든 물체$폐곡면$의 입체각은 모두 4*pi라 할 수 있습니다.

이번엔 또 다른 경우에서 물체 m이 받는 중력을  구해봅시다.

 

두께가 없는 얇은 판을 가정해봅시다.

중력 퍼텐셜은 적분으로 부터 구할 수 있고, 구한 중력 퍼텐셜에 질량 m을 구한 후, 이로부터 힘을 구할 수 있습니다.

이때 대칭성에 의해 z축 성분만 남기 때문에 비교적 간단합니다.

 

하지만, 이 문제를 접근하는 방법으로 다른 방법은 미소질량이 물체에 가하는 중력을 모두 합하여 구할 수도 있습니다.

미소 질량으로부터 받는 힘은 모두 대칭성에 의하여 상쇄되게 때문에 z성분만 남게 되며 z축으로 힘을 사영해서 구할 수 있습니다. 그리고 적분하면 퍼텐셜로부터 유도한 식과 같다는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

 

 

 

오늘 다룬 중력에 대한 계산은 중력과 똑같이 역제곱법칙이 성립하는 전자기력에서 인력의 경우 매우 유사한 결과를 얻을 수 있습니다. 오늘 다룬 주제들은 전자기학 문제에서도 비슷하게 사용되는 것을 느끼실 수 있을 겁니다.

 

이번 주제에서 중력에 대해서 여러가지 문제를 다뤄봤습니다. 특히 구각정리$껍질정리$는 중요한 개념으로 잘 기억해놓으시면 좋습니다.

 

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Reference: Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. 2004. Classical Dynamics Of Particles And System. 5th ed. :Cengage Learning