Harmonic Oscillator - Algebraic method

이 포스팅은 David Griffith 의 Introduction to quantum mechanics에 기반하여 만들어졌습니다.

 

$F = -kx = m\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$

이것의 해는

$x(t) = Asin(\omega t) + Bcos(\omega t)$

 

$\omega = \sqrt\frac{k}{m}$

 

$V(x) = \frac{1}{2}kx^2$

its graph is a parabola

 

$V(x) = V(x_0) + V'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}V"(x_0)(x-x_0)^2+ ...$

 

$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 일 경우의 슈뢰딩거 방정식은

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m(\omega)^2x^2\psi = E\psi$ 로 나타난다.

 

이 슈뢰딩거 방정식을 푸는 방법 중의 하나로 $Algebraic Method$가 있다.

 

위의 슈뢰딩거 방정식을 다시 쓰면 $\frac{1}{2m}[\widehat{p}^2+(m\omega x)^2]\psi = E\psi$

$\widehat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$ 는 momentum operator 이다.기본 아이디어는 Hamiltonian을 인수분해하는 것이다.

$\widehat{H} = \frac{1}{2m}[\widehat{p}^2+(m\omega x)^2]$