7/7 양자역학 첫 스터디 내용 요약

 

우선 2단원 내용에 대한 간단한 복습부터 시작

Schrodinger's Equation

Schrodinger's equation

슈뢰딩거 방정식은 wave packet 개념으로 유도 가능

 

파속을 운동량에 대한 식으로 표현해 (평면파 -> 물질파) 파수 k 대신에 운동량으로 표현

-> 이 때, 원래의 Fourier Transform에는 없는 1/sqrt(hbar) 가 붙어서 새로운 normalization constant 를 만든다.

 

Wave equation을 x에 대한, 그러니까 위치에 대한 관점으로 보는 경우 <x|Ψ>=Ψ(x)로 나타냄

반면에 p에 대한, 운동량에 대한 관점으로 보는 경우 <p|

Ψ>=Φ(p)로 표현된다. Ψ(x)와 Φ(p)는 Fourier Transform 관계를 가진다. 다만, 원래는 k와 x가 서로 변환이 되는 것

 

Probability current density J

From Continuity equation.

Lynx: This problem can be solved by getting another Schrodinger's equation. It's about complex conjugate wave equation Ψ*. (From Schrodinger's equation about free particle)

 

We subtract each other, and we get an equation which form is similar to (4) and we define (2)

 

<> : Expectation Value(기댓값)

여러 번 측정했을 때의 평균값에 해당

 

Momentum operator and Displacement operator.

\[x= i \hbar \frac{\partial }{\partial p}\]

\[p= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial }{\partial x}\]

 

in 1D

 

슈뢰딩거 묘사 vs 하이젠베르크 묘사

슈뢰딩거 방정식은 연산자는 시간에 독립이면서 파동함수가 시간에 따라서 어떻게 변하는 가를, 즉 Ψ(x,t)를 묘사한다. 이를 슈뢰딩거 묘사라 한다.

 

하이젠베르크 묘사는 파동함수는 시간에 독립이면서 연산자가 시간 종속되는 기술 방법이다.

 

\[\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i \hbar} <[A,H]> + <\frac{\partial A}{\partial t}>\]묘사는 다르나, 이 둘은 같은 Expectation Value를 준다.

 

 

How to show operator is Hermitian or Non-Hermitian?

= Go get expectation values for the original and dagger, then, subtract them.

 

 

Time-independent Schrodinger's equation.

대표적인 예시는 Infinite Potential Well

 

Commutator

Operator A,B에 대해서 AB-BA 는 일반적으로 0이 아님

 

Commutator 들의 성질을 이용하여 Angular momentum의 각 성분들이 무엇과 Commute 한지 알아낸다.

\[L^{2}\], H(Hamiltonian)과 Commute 한 성질을 가짐을 보일 수 있다.

 

이 성분들은 Commutator 상에서 Levi-civita notation 을 이용해 간단히 표현

신기하게도 같은 축에서는 non-commute

다른 축에 대해서는 commute (=0)

 

Commute 하다 = 같은 Eigenfunction을 가진다. 

Angular Momentum 에서의 Rasing and Lowering Operator

\[L_{\pm }=L_{x}{\pm }iL_{y}\]

 

Rasing Opertor \[L_{+}=L_{x}+iL_{y}\] 의 eigenvalue는 [\(m+1) {\hbar}\] 이고, 

Lowering Opertor \[L_{-}=L_{x}-iL_{y}\]
의 eigenvalue는 [\(m-1) {\hbar}\]이다.

 

 

Operator 들은 행렬로 표시될 수 있음

|1>=\begin{pmatrix}
1\\ 
0\\ 
0
\end{pmatrix}

 

|2>=\begin{pmatrix}
0\\ 
1\\ 
0
\end{pmatrix}

...

 

단 이것들은 모두 Normalize 된 상태, Gasiorowiz p156의 6번 문제를 대표로

 

Spin

역시 Eigenvalue Problem 이라 10-1은 기존과 같음

 

10-2 의 Magnetic Moment of spin 1/2 Particles 이 부분에 나오는 magnetic moment 에 대한 내용이 중요. 

g : 미세구조 상수

 

 

P172 7번

Spin 에 대해서도 각운동량에 대해서와 마찬가지로 똑같은 rotation 규칙이 적용됨을 떠올려서 풀이하면 됨

 

10번, 쉬움. 그냥 \[e^{x}\] 의 x 자리에 행렬이 들어가는 경우(사실은 이제 수리물리학에서 \[e^{x}\] 는 series 로 정의

 

출처 : Gasiorowiz Quantum Mechanics, 박환배 양자역학, https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node214.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula

Baker–Campbell–Hausdorff formula - Wikipedia

The Commutators of the Angular Momentum Operators