Sturm Liouville Theorem

포스팅을 자주 하지를 못했네요 ㅠ

우리가 푸는 문제들 중 Eigenvalue problem의 경우는 2nd order ODE에서 유래합니다.

물리와 연관된 ODE 문제는 다음의 두 가지와 관련이 깊습니다.

1. Boundary Condition 문제

2. 그 솔루션이 Boundary Condtion에 의해 설정된 파라미터를 가지는 경우

 

푸아송 방정식이나 슈뢰딩거 방정식이 대표적인 예시입니다.

 

Vector Space vs Hilbert Space

Vector space와 Hilbert space사이에는 상당한 유사점이 많습니다.

vector space에서의 모든 점들은 unit vector 들의 linear combination으로 표현되고

Hilbert space에서의 모든 함수들은 eigenfuction들의 linear combination으로 표현됩니다.

 

정사영의 역할은 성분을 알아내는 것입니다. 단위벡터와의 내적을 통해서 벡터의 성분을 알아 내고

eigenfunction과 내적을 해서 linear combination에서의 계수를 알아내게 됩니다.

 

벡터 방정식에서

$\overrightarrow{r} = \widehat(O)\overrightarrow{r'}$

는

 

Eigenfunction $u_{n}$의 eigenvalue problem

$Lu_{n} = \lambda_{n} u_{n}(x)$

과 같다.