[전자기학 핵심 정리] Griffiths Chapter 1 to Chapter 3 - (3)

정전기학에서의 일과 에너지

원천 전하들이 고정돼 있는 상황에서 시험전하 Q를 점 a에서 b까지 옮기는 상황이다.

Griffith 전자기학

이 때 드는 일은 다음과 같이 계산할 수 있다.

이제 점전하 무리를 모으기 위해서 해야 하는 일의 양을 계산하여 보자.

첫 전하를 가져올 때는 전기장이 존재하지 않으므로 일이 0이다.

이제 두 번째 전하 $q_{2}$ 를 $r_{2}$ 로 가져오는 데 드는 일 $W_{2}$ 는 $$W_{2}=V_{1}(\textbf{r}_{2})$$ 이다.

$V_{1}(\textbf{r}_{2})$ 란 $q_{1}$ 이 만든 전기장이 $\textbf{r}_{2}$ 에서 보이는 전위의 값을 말한다.

 

이런 식으로 n개의 점전하를 모으는 데 드는 일 $W$는 $$W=\sum_{i}^{n}q_{i}\left ( \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} \frac{q_{j}}{r_{ij}} \right )$$ 로 표시된다.

이것을 정리하면 $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_{i}V\left ( \textbf{r}_{i} \right )$ 이 된다.

 

여기서는 자기 자신에 의한 configuration을 고려하지 않았다.

 

반면, 연속전하분포의 경우에는 이야기가 다르다. 

$$W=\frac{1}{2}\int\rho V d\rho$$

이며, 가우스 법칙 $\rho= \epsilon \nabla \cdot \textbf{E}$ 을 이용하면 $$W=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left ( \int_{v}^{}E^{2}d\rho+\oint_{S}^{}v\textbf{E}\cdot d\hat{a} \right )$$ 로 정리할 수 있다.

 

이 때 $E$는 $r$의 제곱에 반비례하고,$ V$는$ r$에 반비례한다.

$$W=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left ( \int_{v}^{}E^{2}d\rho+\oint_{S}^{}V\textbf{E}\cdot d\hat{a} \right )$$ 의 두 번째 항은 전 공간의 면적에 대한 적분인데, $V\textbf{E}$항은 $r$의 세제곱에 반비례하고,  $d\hat{a}$ 은 $r^{2}$ 에 비례한다. 따라서 $V$가 $r$에 대해 반비례하게 되는 것이다.

 

이 과정에 대해서 그리피스 전자기학에서 상세히 기술하고 있다.

 

이 단원에서는 연습문제 2.42와 함께 2.47을, 2.48의 간단한 계산을 준비하였고

 

2.54가 비교적 재미있는 문제였다.

2.54에 대한 내용은 따로 정리하여 올리도록 하겠다.

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