Chapter 6. Symmetries and Conservation Laws - (2)

6.2 The Translation Operator 

\[\hat{T}(a)\psi(x) =\psi'(x)=\psi(x-a)\] 으로 translation operator 를 정의한다. 

우리는 이제 \[\hat{T}(a)\] term을 momentum operator 로 해석할 수 있다. 그래서 우리는 지난번에 \[\psi(x-a)\]를 Taylor Series 로 전개하여 나타내었다.

 

6.2.1 How Operators Transform

이젠, 어떻게 연산자들이 변환흘 하는지 알아볼 것이다. 지금까지는 함수를 어떻게 변환할지에 대해서 논했지만 이제는 연산자의 변환을 논할 수 있다.

Transformed operator \[\hat{Q}'\]는 untranslated 되어 있는 상태와도 똑같은 Expectation Value를 제공하는 operator 로 정의된다.

\[<\psi'|\hat{Q}|\psi'>=<\psi|\hat{Q'}|\psi>\]

Translation의 효과를 expectation value에 계산하는 방법은 두 가지가 있다.

하나는 wave equation을 어떤 거리만큼 실제로 이동시키는 방법 (Active Transformation)

다른 하나는 같은 거리만큼 좌표를 이동시키는 방법이다. (Passive Transformation)

 

Operator \[\hat{Q'}\] 는 이렇게 shifted 된 coordinate system에서의 operator ㅣ다.

이제 \[\hat{T}(a)\psi(x) =\psi'(x)=\psi(x-a)\] 을 사용하면

\[<\psi|\hat{T^{\dagger}}\hat{Q}\hat{T}|\psi>=<\psi|\hat{Q'}|\psi>\]

이 된다.

 

여기서 operator의 adjoint 는 이렇게 정의된다는 사실을 이용하였다. 예를 들어, 만일 \[\hat{T}|f>\equiv |T f>\] 이라면 \[<T f|=<f|\hat{T^{\dagger}}\] 이다.

예제 6.1에서는 \[\hat{Q}=\hat{x}\] 인 상황을 표현하였다.

그리고 문제 6.3에서는 \[\hat{Q}=\hat{p}\] 인 상황에 대해서 푸는 것이다. 이에 대한 해설은 https://study-physics-with-lynx.tistory.com/130

Chapter 6. 연습문제 -1

에서 다루었다.

Problem 6.3에서는 \[\hat{p'}=\hat{p}\]라고 나오는데 반해 예제 6.1에서는 \[\hat{x'}=\hat{x}+a\]가 된다. 이것은 우리의 직관과 일치하는데, 위치는 좌표에 따라서 달라지지만 속도나 운동량은 좌표를 평행이동 하더라도 달라지지 않기 때문이다. 

이렇게, 운동량은 translational operator 에 대해서 symmetric 하지만 위치는 그렇지 않다.

 

6.2.2 Translation Symmetry

지금까지 function들이 translation에 대해서 어떻게 행동하는지에 대해서 알아보았다. 이제는 Translation 에 대해서 invarient 한 상황에 대해서 다룰 것이다. (Translationally invarient) 

Symmetric 하다는 것은 이렇게 변환에 대해서 invarient 하다는 의미로 받아들이면 된다.

만일 Hamiltonian 이 transformation 에 대해서 바뀌지 않는다면 이렇게 표현할 수 있다.

 

\[\hat{H'}=\hat{T^{\dagger}}\hat{H}\hat{T}=\hat{H}\] 이다.

한편

\[\hat{T}\]는 unitary 이기 때문에 양 변에 똑같이 \[\hat{T}\]를 곱할 수 있다. 그렇게 해서

\[\hat{H}\hat{T}=\hat{T}\hat{H}\] 를 얻는다.

그러므로 \[\hat{H}\]와 \[\hat{T}\]는 서로 Commute 함을 알 수 있다.

\[[\hat{H},\hat{T}]=0\]

 

1D 상에서의 particle을 상정한다면, \[\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} + V(x)\] 이다.

Transform을 수행한다면 

\[\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} + V(x+a)\] 가 된다.

그러면 translational symmetry 에 의해서  \[V(x+a)=V(x)\] 임을 알 수 있다. 이 같은 패턴은 두 가지로 설명할 수 있다. 첫 번째는 Continuous translational symmetry 를 가지는 경우이다. 이는 infinitesimal translation 에서 유용하게 사용된다.

\[[\hat{H},\hat{T}(a)]=0\]이다.

따라서 \[\hat{T}(\delta)=e^{-i\delta\hat{p}}\cong 1-\frac{i\delta \hat{p}}{\hbar}\]

이다.

그리고 \[\frac{\mathrm{d}<\hat{Q}>}{\mathrm{d} x}=\frac{i}{\hbar}<[\hat{H},\hat{Q}]>+<\frac{\partial \hat{Q}}{\partial x}>\] 인데, 여기서 \[[\hat{H},\hat{Q}]=0\] 이므로 사라진다. 따라서 \[\frac{\mathrm{d}<\hat{p}>}{\mathrm{d} x}=0\] 이다.

앞서 말했듯, \[\hat{p}\]는 translational operator 에 대해서 invarient 하다. 또한 이것은 momentum conservation을 의미하기도 한다.

 

두 번째는 Periodic 한 potential energy를 가지는 경우이다.

이렇게 Discrete translational symmetry를 가지는 경우를 말한다. 이 경우에 가장 중요한 결과는 Bloch Theorem 이 있다. 고체 물리학에서 대단히 중요하게 다뤄지는 이론이다. (https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch%27s_theorem)

Bloch's theorem - Wikipedia

금속 내에서 전류가 잘 흐르는 이유는 무엇일까? 내부의 다른 원자들과 마구 부딪힘에도 불구하고? 이는 translational symmetry가 존재하기 때문이다.

 

Bloch Theorem 에 대한 내용은 위키피디아에 잘 설명돼 있지만, 고체물리로 본격적으로 들어가지 않는, 양자역학 2 과정에서의 내용만 정리해 본다면 대략 다음과 같다.

우선, Hamiltonian 이 translationally invarient 하다는 사실을 이용하자. 

\[\hat{H}|\psi>=E|\psi>\]

\[\hat{T}(a)\psi(x)=\lambda\psi(x)\]

 

\[[\hat{H},\hat{T}]=0\] 으로부터 \[\hat{H}\], \[\hat{H}\]는 simultaneous eigenstate를 가진다는 사실을 알 수 있고, 

\[V(x+a)=V(x)\] 같은 translated symmetry 를 가진다.

\[T\]는 앞서 말했듯, unitary operator 이고, 이 때 eigenvalue의 절대값 \[|\lambda|=1\] 이다.
\[<\hat{T}\psi|\hat{T}\psi>=<\lambda\psi|\lambda\psi>=|\lambda|^2<\psi|\psi>=|\lambda|^2\]

이다.

\[\psi(x)=e^{i\phi}u(x)\] 꼴이 됨을 알 수 있다. 여기서 \[u(x+a)=u(x)\] 이다.

\[\psi(x-a)=e^{i\phi}\psi(x) (\phi: real\,\, number)\]

\[\psi(x-a)=e^{-iqa}\psi(x) (\hbar q: crystal\ momentum)\]

 

따라서

\[\psi(x)=e^{iqx}u(x)\]

\[\psi(x-a)=e^{-iqa}e^{iqx}u(x-a)=e^{-iqa}\psi(x)\]

 

따라서 \[u(x-a)=u(x)\] 임을 알 수 있다.

이렇게 \[\psi(x)=e^{iqx}u(x)\, where u(x+a)=u(x)\] 임을 알 수 있다.

이것이 바로 Bloch Theorem이며, Periodic potential 내에 있는 입자의 stationary state 을 기술한다.

 

Reference: Introduction to Quantum Mechanics

http://www.physics.rutgers.edu/~eandrei/chengdu/reading/Energy_Bands.pdf