Chapter 6. Symmetries and Conservation Laws

이 단원은 그리피스 양자역학 2판에는 없는 단원입니다. 

 

오늘의 수업은 Symmetric 하다는 것이 무엇인지에 대해서 다루면서 시작하였습니다. 

방 안에 있는 공기의 공기 분자들이 무작위로 퍼져 있다고 합시다. 이 때 공기 분자는 어느 방향에서 보더라도 거의 균일한 모습을 나타냅니다. 이런 경우에 우리는 이 공기분자가 대칭성(Symmetry)을 가진다고 합니다.

 

반면, 공기 분자가 한 줄로 쭉 늘어선 경우에는 보는 관점에 따라서 입자들의 배치 모양이 달라지게 됩니다. 이런 경우를 우리는 Rotational Symmetry가 깨져 있다고 이야기합니다.

 

그렇다면 Symmetry란 무엇이냐? 이에 대해 그리피스에서는 이렇게 답합니다.
"It is some transformation that leaves the system unchanged."

변환에 대해서 불변이면 그것이 곧 대칭이라는 뜻입니다. 

 

양자역학에서는 Hamiltonian이 바뀌지 않았다는 것을 뜻합니다.

 

첫 번째 사각형의 경우는 Pi/2만큼 돌아야 symmetry 가 유지됩니다. 반면 오른쪽 원의 경우는 회전각이 몇 도이더라도 대칭성이 유지됩니다. 전자를 'Discrete rotational symmetry를 가진다.' 고 하고, 후자를 'Continuous rotational symmetry를 가진다.' 고 말합니다.

이런 경우는 양자역학

 

그렇다면 기사적인 모양은 대칭성을 보장해 주는 것일까요?

예를 들어, 타원의 한 초점에 있는 항성 주위를 돌고 있는 행성의 운동은 과연 symmetric 한가에 대한 것입니다.

 

모양은 비록 대칭이 아닐지라도, 변환에 대해서 불변하다면 대칭이라고 합니다. 

 

6.1.1 Transformation in space

이동, 반전과 회전에 대한 양자역학적 연산자 도입 예정.

이동 연산자는 함수를 x방향으로 거리 a 만큼 이동시키는 함수이다.

\[\hat{T}(a)\Psi (x)=\Psi'(x)=\Psi(x-a)\]

원점에 대해서 함수를 뒤집는 연산자인 일차원에서의 Parity Operator는 

\[\hat{\Pi}\Psi(x)=\Psi'(x)=\Psi(-x)\]

따라서 3차원에서는 \[\hat{\Pi}\Psi(x,y,z)=\Psi'(x,y,z)=\Psi(-x,-y,-z)\]

 

이제 회전 연산자를

반시계 방향으로 회전한 함수를 사용하면 표현이 됩니다.

\[\psi(r,\phi)=\psi(r,\phi-\varphi)\]

 

6.2 Translation Operator

여기서는 \psi(x-a)를 Taylor series 로 표현한다. 

\[\hat{T}(a)\psi (x)=\psi'(x)=\psi(x-a)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}(-a)^{n}\frac{\mathrm{d} ^{n}}{\mathrm{d} x^{n}}\psi=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}(\frac{-ia}{\hbar}\hat{p})^{n}\psi(x)\]

 

식의 우변과 좌변을 비교하면 \[\hat{T}(a) = e^{-\frac{ia}{\hbar}\hat{p}}\]
임을 알 수 있다.

이 때 momentum operator \[\hat{p}\]를 "generator" of translations 라고 한다.

\[\hat{T}(a)\]는 unitary operator 이다. 

 

6.2.1 How operators Transform

\[\hat{T}(a)|x>=|x+a>\] 라고 할 수 있다. 여기서 |x> 란 작은 영역에서 측정한 이후의 시스템의 상태이고, translation operator에 의해 이동한 뒤에 |x+a> 가 되는 것이다.

 

이제 wave function에 operator를 적용하면 \[\psi(x)=<x|\psi>\], 여기서\[|\phi>=\hat{T}(a)|\psi>\]는 translated state이다. Wave function은 \[\phi(x)=<x|\phi>\]

 

이제 여기서 \[\phi(x)=<x|\phi>=<x|\hat{T}(a)|\phi>=\int dx'<x|\hat{T}(a)|x'>=\int dx' <x|x+a><x|\phi>=\int dx' \delta(x-x'-a)\phi(x')=\psi(x-a)\]

 

Translation operator의 성질에 대해서 정리하자.

\[T(0)=1, T(a)T(b)=T(a+b)=T(b)T(a)\]

\[T(a)T(b)|x>=T(a)|x+b>=|x+a+b>=T(a+b)|x>=T(b)|x+a>=T(b)T(a)|x>\]

\[\hat{T}(a) = e^{-\frac{ia}{\hbar}\hat{p}}\]

Reference: Introduction to Quantum Mechanics (David Griffith) 3rd ed.