12월 30일에 한양대학교 친구들과 진행한 스터디 내용을 정리합니다.
Half filling 에 대한 내용이 먼저 나옵니다.
Nearly free electron 시스템의 pseudopotential은 전도대와 가전자대 사이의 쿨롱 상호작용 효과를 포함하지만, 전도전자들 사이의 상호 쿨롱 상호작용은 새로운 물리적 현상을 초래할 수 있습니다. 이 같은 효과는 물질의 매개변수(예: 유효 전도전자 질량)에 상당한 변화를 줄 수 있죠.
그러나 이 상호작용은 바닥 상태나 elementary quasi-particle excitation 상태의 본질을 근본적으로 변화시키지는 않습니다. 이는 Fermi-liquid theory의 기본이 되는 내용이며, 이후 다시 다룰 내용입니다.
이에 반해, 상호작용은 tight-binding 시스템의 물리에 상당한 영향을 미칩니다. 특히 절반만 채워진 상태, 소위 "half-filling"이라 불리는 상태에서는, 약한 상호작용조차도 시스템을 correlated magnetic state나 insulator로 변화시킬 수 있습니다.
이해를 돕기 위해, Wannier states에 연관된 field operators로 상호작용을 다시 표현하겠습니다.
간단한 논의를 위해, 단일 sub-band에 집중하며 밴드 인덱스는 생략하겠습니다.
그런 다음, 쿨롱 상호작용(Coulomb interaction)에 적용하면, 변환식
\[
a_{i \sigma}^\dagger (r) = \sum_{R} \psi_{R}^* (r) a_{R \sigma}^\dagger \equiv \sum_{i} \psi_{R_i}^* (r) a_{i \sigma}^\dagger
\]
은 아래와 같은 확장으로 이어집니다.
그 결과는 다음과 같습니다: \[ \hat{V}_{ee} = \sum_{i j j'} U_{i j j'} a_{i \sigma}^{\dagger} a_{j \sigma} a_{j' \sigma'}^{\dagger} a_{i \sigma'} \]
여기서, \[ U_{i j j'} = \frac{1}{2} \int d^3r \int d^3r' \psi_{R_i}^*(r) \psi_{R_j}(r) V(r - r') \psi_{R_{j'}}^*(r') \psi_{R_i}(r') \]
이제, 결합하여, \[ \hat{H} = \sum_{i i' \sigma} t_{i i'} a_{i \sigma}^\dagger a_{i' \sigma} + \sum_{i i' j j' \sigma \sigma'} U_{i j j'} a_{i \sigma}^\dagger a_{j \sigma} a_{j' \sigma'}^\dagger a_{i' \sigma'} \]
이렇게 interaction Hamiltonian의 tight-binding 표현을 정의합니다. 인접한 sub-band들을 무시하면, 해밀토니안은 정확합니다. 하지만, 상호작용의 효과를 이해하기 위해, 원자적 한계의 본질을 기반으로 하여 타이트바인딩 기술을 정당화하는 여러 행렬 요소의 상대적 중요성을 평가하는 것이 유용합니다. 여기에서는 U_{i j j'}에 대한 기여로 초점을 맞추겠습니다. 여기서 인덱스는 동일하거나 대부분 근접한 이웃의 경우입니다.
행렬 요소들 중 가장 관련성 높은 것들에 집중하면, 물리적으로 서로 다른 여러 기여를 식별할 수 있습니다.
- 직접 항 (Direct terms) \[ \sum_{i \neq i'} V_{i i'} \hat{n}_i \hat{n}_{i'} \] 는 Wannier functions의 제곱 modular에 대한 적분 및 인접 격자 사이트에서의 밀도 요동(couple density fluctuations)을 포함합니다: ∑i≠i′Vii′n^in^i′,\sum_{i \neq i'} V_{i i'} \hat{n}_i \hat{n}_{i'}, 여기서 \[ \hat{n}_i = \sum_\sigma a_{i \sigma}^\dagger a_{i \sigma} \] 입니다. 이러한 기여는 기본적으로 고전적(classical)인 상호작용, 즉 인접한 격자 사이트에 국한된 전하 간의 상호작용에 해당합니다 (그림 2.4 참고). 특정 물질에서는 이러한 유형의 상호작용이 전하 밀도 파(Charge-density wave) 불안정성을 유발할 수 있습니다.