Quantum Spin Liquid 2 - Highly entangled quantum matter

Quantum state 가 entangle되었다는 것은 무엇일까?
하나의 관측이 다른 측정 결과에 영향을 미치는 것을 말한다. 이 때, 모든 관측 대상들은 미정$undetermined$이며, 원래 독립적이다.

 

우리는 이 개념을 locality의 중요한 재료로 삼고, 공간적으로 멀리 떨어진 observable들 사이의 entanglement를 논하려고 한다.

 

어떤 상태$state$는 superposition state일 때 entangled 되었다고 한다. 비록 기저가 local change를 겪더라도 product state로 상태가 기술될 수는 없다. 두 관측 가능한 상태는 완전히 entangled 되지 않은 product state로부터 최대로 entangle된 상태까지 다양할 수 있으며, "generic" 한 무작위로 선택된 상태는 그 중간에 위치하는 것으로 생각할 수 있다.
여기서, product state란, entanglement가 없는 상태를 지칭하는 것으로써, 시스템을 구성하는 개별 입자들의 상태가 서로 독립적인 것을 말한다. 

 

Product state의 예를 들어 보자. 두 Qubit A와 B가 각각 state $|0⟩$ 와 $|1⟩$

에 있다고 가정하면, 이들의 product state는 다음과 같이 표현된다.

 

$$|\psi ⟩=|0{⟩}_A\otimes |1{⟩}_B$$

 

여기서 $|0⟩{}_A$ 는 Qubit A가 state $|0⟩$ 에 있었음을 나타내고, $|1⟩{}_B$  는 Qubit B가 state $|1⟩$  에 있었음을 나타낸다. 그리고 $\otimes$ 는 텐서 곱을 나타내고, 두 시스템의 상태가 독립적으로 존재함을 의미한다. 각 큐비트의 상태는 다른 큐비트의 상태와 관계없이 정의될 수 있으며, 이들 사이의 얽힘은, 상술하였듯이 존재하지 않는다.  

 

이런 아이디어는 두 개의 observable의 entanglement를 기술하는데는 적합하다. 그러나, 여러 입자계 시스템에서 thermodynamic limit까지 고려해야 하는 상황에서의 entanglement를 고려하기에는 조금 부족하여 주의가 필요하다. 어떤 일반적인 상태에서도 어느 정도의 entanglement는 불가피하고, 우리는 entanglement 가 시스템의 특성에 필수적인 상태를 묘사하고자 한다.

 

시스템의 질적인 특성은 물질의 phase를 정의하며, entangle되지 않은 상태의 대표적인 상태가 없는 물질의 phase에 관심이 있다. 따라서, 우리는 phase 내에서 계속 유지되면서 product state로 continuous 하게 계속해서 변형될 수 없는 basis state를 찾는 중이다. 이것은 그 phase가 entanglement를 포함하고 있음을 의미하여, product state로 간단히 분해할 수 없다는 의미이다. 물질의 다양한 quantum phase를 이해하고 분류하는 데에 중요한 기준이다.

 

Continuous 한 변형의 정의는 제한적이다. 그럼에도 가능한 정의 중 하나는 변형이 local Hamiltonian의 매개변수 변화에 대한 basis state wavefunction의 연속적인 변화라고 정의하는 것이다.

 

이같은 변화과정에서는 basis state위에 non-zero gap 이 유지되어야 한다. 이는 양자 시스템의 안정성과 phase의 특성을 이해하는 데 중요한 과정입니다.

 

non-zero gap이 있는 시스템은 외부의 perturbation에 대해서 더 안정적이다. 작은 에너지 변화가 excitation을 만들기에는 불충분하기 때문이다.

또한, 특정 양자 phase 를 나타내는 지표의 역할을 할 수 있다. 예를 들어, 어떤 phase에 non-zero gap이 있다면 그 phase는 superconductivity, magnetism, topological insulator, spin liquids, quantum Hall effect 등의 특정 물리적 특성을 가진 것으로 생각할 수 있다. $superconductivity 상태에서는 전자들이 Cooper pair를 형성하여, 전기 저항 없이 전류를 전달할 수 있는데, 이 떄 에너지 갭을 가진다. 이 갭은 쿠퍼 쌍이 형성되는 에너지 장벽을 가진다. Magnetism 역시 마찬가지인데, antiferromagnet 상태나 ferromagnet 상태는 에너지 갭을 가지게 된다.$

그래서 Quantum phase transition을 이해하는 데 중요한 역할을 하게 된다. gap이 닫히거나 열리는 현상은 phase의 변화를 나타내는 데 중요한 지표가 되기 때문이다,

그리고 상술한 것처럼 quantum entanglement를 이해하는 데 필수적이다.

 

끝으로, entanglement를 이해하는 데 사용되는 가장 유명한 사고실험을 소개하겠다.

두 개의 entangled 된 공이 각각의 상자에 담겨 있다고 하자. 이 비유에서, 공은 관측됐을 때 노랑색일 수도 있고, 빨강색일 수도 있다. 하지만 지금은 그 두 상태는 서로 중첩$superposition$상태이거나 혹은 둘다 동시에 빨강이면서 노랑색이다.

 

... 당신이 공을 관측하기 전까지는 말이다.  한쪽이 빨강/노랑색이면 다른 한쪽도 빨강/노랑색일 것이다. 이 공들은 비록 매우 멀리 떨어져 있다고 해도 서로 연결돼 있을 것이다. 과학자들은 entangled 된 물체들을 진짜 하나의 물체로 생각한다.

그러나, 만일 한 관찰자가 자신의 공을 다른 각도나 상자의 측면을 통해서 보기로 결심했다면 어떻게 될까? 공은 superposition state로 돌아갈 것이고, 50퍼센트의 확률로 빨강색, 나머지 50퍼센트의 확률로 노랑색일 것이다.

관찰자는 이제 노랑색 공을 관측하게 됬다. 비록 두 공이 둘다 이전에 빨강색이었다고 해도 말이다.

 

이제, 만약에 두번째 관찰자도 같은 결정을 해서 공을 옆에서 본다고 한다면, 공의 색깔은 첫번째 관찰자가 본 것과 같아질 것이다. 공들은 여전히 entangle되어 있으나, 관찰자가 보는 것은 '공을 어떻게 보느냐에 따라서 색깔이 달라지는 것'이다. 이것은 색깔에 대한 entangle 된 정보는 어떤 공 하나에 위치한 것이 아니라, 두 공의 연결 사이에 자리하고 있기 때문이다.

 

출처 : https://scienceexchange.caltech.edu/topics/quantum-science-explained/entanglement

 

 

Reference 

https://arxiv.org/abs/cond-mat/0506438

Anyons in an exactly solved model and beyond