1/2 ⨂ 1/2 = 1⨁0 이 실제로 무슨 뜻이냐?

Stack exchange에 올라온 유익했던 질문 올려본다.
Q. 1/2 ⨂ 1/2 = 1⨁0 이 실제로 무슨 뜻이냐?
1/2는 state냐? 아니면 subspace냐? Subspace라면 정확히 무엇의 subspace냐?
여기에 대한 답은 다소 선문답처럼 시작한다.
A. 물리학에서 시스템에 대한 symmetry만으로도 이론을 만들 수 있다. Nonrelativistic한 QM에서는 spin은 SU(2) symmetry를 가진다.
SU(2)의 representation에는 많은 종류가 있는데 이 중에서 우리가 관심있는 것은 spinorial representation이다.
Tensor product를 통해서 모든 걸 다 표현해 낼 수 있기 때문이다. 이건 무슨 말이냐면, 1/2 spin만 가지고 복잡한 시스템을 다 표현할 수 있다는 얘기다.
예를 들어 여기서 표현한 것은 spin 1인 시스템과 spin 0인 시스템이다.
여기서 irreducible 한 representation의 차원은 2j+1로 표현된다. 좌변의 숫자들을 넣어 보면 서로 같게 나온다는 것을 알 수 있다.
그러면 왜 1⨂0이 아니고 1⨁0으로 표현했냐가 궁금했는데, 일단은 irreps 에서서로 분리된(?) diagonal한 모양의 블록으로 나타난다.
물리적인 의미는? singlet과 triplet이 동시에 존재할 수 없다는 의미를 내포하고 있는 거였다.

 

오류 지적 환영
출처 : 

https://physics.stackexchange.com/questions/534887/what-does-this-notation-for-spin-mean-mathbf-frac-1-2-otimes-mathbf-frac-1